2024 Round 1 문제 및 풀이

pages/2024/index.tsx

@@ -7,18 +7,19 @@ const year = 2024;
 
 
 const problems = {
-  round1: [ /*
-    ["round1_p1", "[연습문제] 인류의 적 모기 퇴치"],
-    ["round1_p2", "[연습문제] 카트라이더 보드게임"],
-    ["round1_1", "메이플스토리 새로운 직업 고르기"],
-    ["round1_2", "게임 안에서 책을 읽을 수 있다구요?"],
-    ["round1_3", "더하기와 곱하기"],
-    ["round1_4", "언제까지 기다려야"],
-    ["round1_5", "짠돌이 구단주"],
-    ["round1_6", "몬스터 격퇴 원정단"],
-    ["round1_7", "욕심 많은 신년 운세"],
-    ["round1_8", "별자리 그리기"],
-  */ ],
+  round1: [
+    ["round1_p1", "[연습문제] 메이플스토리 새로운 직업 고르기"],
+    ["round1_p2", "[연습문제] 별자리 그리기"],
+    ["round1_1", "초밥"],
+    ["round1_2", "무한 길이 물풍선"],
+    ["round1_3", "커닝시티 헤어샵"],
+    ["round1_4", "오르락 내리락"],
+    ["round1_5", "게임"],
+    ["round1_6", "어디로 피해야하지?"],
+    ["round1_7", "골드리치의 비밀 금고"],
+    ["round1_8", "브레이크가 고장난 카트"],
+    ["round1_9", "1-2-3 퍼즐"],
+  ],
   round2a: [ /*
     ["round2a_1", "오솔길"],
     ["round2a_2", "주사위 대체"],

pages/2024/round1_1.mdx

@@ -0,0 +1,107 @@
+import {
+  Examples,
+  Input,
+  Output,
+  Figure,
+  PostLayout,
+  Simulators,
+  Solution,
+  Subtask,
+} from "components";
+
+export const meta = {
+  title: "초밥",
+  year: 2024,
+  stage: "Round 1",
+};
+
+export default ({ children }) => (
+  <PostLayout meta={meta}>{children}</PostLayout>
+);
+
+<div style={{ display: "flex" }}>
+  <Figure
+    src="/2024/1-1.9c7b433c967133f1.png"
+    width={800}
+  />
+</div>
+
+반쵸는 유명 초밥집의 주인이다.
+반쵸는 오늘 바다에서 채집한 재료로 "복어 특초밥" $A$ 개와
+"바다포도 특초밥" $B$ 개를 만들었다.
+
+반쵸는 이 초밥들을 모두 배달하기 위해 포장해야 한다.
+하나의 상자에는 최대 $4$ 개의 초밥을 담을 수 있다. 단, 각 상자에는
+최소 "복어 특초밥" $1$ 개와 "바다포도 특초밥" $1$ 개가 담겨야 한다.
+
+반쵸가 모든 초밥을 포장할 수 있는 상자의 최소 개수를 구하는 프로그램을 작성하라.
+
+## 입력 형식
+
+첫 줄에 테스트 케이스의 수를 나타내는 정수 $T$가 주어진다. ($1 \le T \le 1\,000$)
+
+이어지는 $T$ 개의 줄에는 차례로 각 테스트 케이스가 주어진다.
+각 줄은 복어 특초밥의 개수를 나타내는 정수 $A$와
+바다포도 특초밥의 개수를 나타내는 정수 $B$가
+공백으로 구분되어 주어진다.
+($1 \le A, B \le 500\,000\,000$)
+
+## 출력 형식
+
+$T$ 개의 줄에 걸쳐 답을 출력한다.
+$i$ 번째 줄에는 $i$ 번째 테스트 케이스에 대한 답을 출력한다.
+만약, 문제의 조건을 만족하면서 모든 초밥을 포장하는 것이 불가능한 경우 $-1$을 출력한다.
+
+## 예제
+
+<Examples>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Input>
+3
+2 2
+5 2
+5 1
+  </Input>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Output>
+1
+2
+-1
+  </Output>
+</Examples>
+
+## 예제 설명
+
+첫 번째 테스트 케이스에서 하나의 상자에 $4$ 개의 초밥을 모두 담을 수 있다.
+
+두 번째 테스트 케이스에서는 한 상자에 복어 특초밥 $3$ 개와 바다포도 특초밥 $1$ 개,
+다른 상자에 복어 특초밥 $2$ 개와 바다포도 특초밥 $1$ 개를 담을 수 있다.
+
+세 번째 테스트 케이스에서는 바다포도 특초밥이 $1$ 개밖에 없어서
+문제의 조건을 만족하면서 상자에 담는 것이 불가능하다.
+
+## 채점 방식
+
+입력 케이스들은 다음과 같은 종류로 구별되며, 한 종류의 케이스를 다 맞혀야 그 종류에 배정된 점수를 받을 수 있다.
+
+<Subtask index={1} score={31}>
+  $A, B \le 4$
+</Subtask>
+<Subtask index={2} score={17}>
+  불가능한 경우는 주어지지 않음.
+</Subtask>
+<Subtask index={3} score={52}>
+  추가적인 제한 조건이 없음.
+</Subtask>
+
+## 해설
+
+<Solution>
+일반성을 잃지 않고 $A \le B$라고 하자.
+$A > B$이면 $A$와 $B$를 교환해서 생각할 수 있다.
+
+만약 $3A < B$라면 초밥을 어떻게 옮기더라도 모두 옮길 수 없다.
+그렇지 않은 경우, 매번 $\min(A+B, 4)$ 개의 초밥을 옮기면서
+여전히 $3\min(A,B) \ge \max(A,B)$가 성립하도록 만들 수 있다.
+따라서 $\lceil \frac{A+B}{4} \rceil$ 번 만에 모든 초밥을 옮길 수 있다.
+</Solution>

pages/2024/round1_2.mdx

@@ -0,0 +1,109 @@
+import {
+  Examples,
+  Input,
+  Output,
+  Figure,
+  PostLayout,
+  Simulators,
+  Solution,
+  Subtask,
+} from "components";
+
+export const meta = {
+  title: "무한 길이 물풍선",
+  year: 2024,
+  stage: "Round 1",
+};
+
+export default ({ children }) => (
+  <PostLayout meta={meta}>{children}</PostLayout>
+);
+
+<div style={{ display: "flex" }}>
+  <Figure
+    src="/2024/2-1.f5057fdd9cbed9f9.png"
+    width={300}
+  />
+</div>
+
+배찌는 무한한 길이의 폭발 범위를 가지는 물풍선 스킬을 터득하였다. 이 스킬을
+사용하기 위해 배찌는 우선 2차원 평면의 $N$ 개의 좌표에 물풍선을 놓는다.
+
+스킬을 사용하면 동일한 $x$ 좌표를 가진 두 점에 물풍선이 있는 경우 해당 $x$ 좌표의 모든
+점이 물풍선의 폭발 범위에 들어간다. 즉, 수직인 직선 전부가 물풍선의 폭발 범위가 된다.
+
+또, 동일한 $y$ 좌표를 가진 두 점에 물풍선이 있는 경우 해당 $y$ 좌표의 모든
+점이 물풍선의 폭발 범위에 들어간다. 즉, 수평인 직선 전부가 물풍선의 폭발 범위가 된다.
+
+배찌가 물풍선을 놓은 좌표들을 입력으로 받아 물풍선의 폭발 범위가 되는 수직, 수평
+직선의 개수를 계산하는 프로그램을 작성하라. 서로 다른 두 개 이상의 물풍선 쌍이 만드는
+폭발 범위가 완전히 일치하는 경우, 즉 동일한 직선이 되는 경우는 하나로 세어야 한다.
+
+## 입력 형식
+
+첫 줄에 점의 개수를 나타내는 정수 $N$이 주어진다. ($1 \le N \le 100\,000$)
+
+이어지는 $N$ 개의 줄의 $i$ 번째 줄에는
+$i$ 번째 물풍선이 놓인 좌표를 나타내는 두 정수 $x_i$와 $y_i$가
+공백으로 구분되어 주어진다.
+($1 \le x_i, y_i \le 1\,000\,000\,000$)
+
+주어지는 물풍선의 좌표는 서로 다르다.
+
+## 출력 형식
+
+첫 줄에 물풍선의 폭발 범위가 되는 수직, 수평 직선의 개수를 출력한다.
+
+## 예제
+
+<Examples>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Input>
+4
+1 1
+2 2
+3 1
+2 1
+  </Input>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Output>
+2
+  </Output>
+</Examples>
+
+## 예제 설명
+
+물풍선이 놓인 점 $(2, 2)$와 $(2, 1)$을 보면 $x$ 좌표가 같으므로 수직인 직선
+하나가 폭발 범위가 된다.\
+점 $(1, 1)$과 $(2, 1)$을 보면 $y$ 좌표가 같으므로 수평인 직선 하나가 폭발 범위가 된다.\
+점 $(2, 1)$과 $(3, 1)$을 보면 $y$ 좌표가 같으므로 수평인 직선 하나가 폭발 범위가 된다.\
+점 $(1, 1)$과 $(3, 1)$을 보면 $y$ 좌표가 같으므로 수평인 직선 하나가 폭발 범위가 된다.\
+그런데, 수평인 직선 $3$ 개는 모두 완전히 일치하므로 $1$ 개로 세어야 한다.
+
+따라서 이 경우의 답은 $2$가 된다.
+
+## 채점 방식
+
+입력 케이스들은 다음과 같은 종류로 구별되며, 한 종류의 케이스를 다 맞혀야 그 종류에 배정된 점수를 받을 수 있다.
+
+<Subtask index={1} score={13}>
+  $N \le 20;$ $x_i, y_i \le 20$
+</Subtask>
+<Subtask index={2} score={16}>
+  $N \le 1\,000$; $x_i, y_i \le 100$
+</Subtask>
+<Subtask index={3} score={14}>
+  $N \le 1\,000$
+</Subtask>
+<Subtask index={4} score={57}>
+  추가적인 제한 조건이 없음.
+</Subtask>
+
+## 해설
+
+<Solution>
+어떤 $x$ 좌표에 대해 그 $x$ 좌표를 가지는 물풍선이 두 개 이상 있으면 수직으로 폭발이 일어난다.
+마찬가지로, 어떤 $y$ 좌표에 대해 그 $y$ 좌표를 가지는 물풍선이 두 개 이상 있으면 수평으로 폭발이 일어난다.
+이러한 점을 이용하여, 정렬 혹은 map 등의 자료구조를 이용하여
+문제를 $\mathcal{O}\left( N \lg N \right)$ 시간복잡도에 해결할 수 있다.
+</Solution>

pages/2024/round1_3.mdx

@@ -0,0 +1,123 @@
+import {
+  Examples,
+  Input,
+  Output,
+  Figure,
+  PostLayout,
+  Simulators,
+  Solution,
+  Subtask,
+} from "components";
+
+export const meta = {
+  title: "커닝시티 헤어샵",
+  year: 2024,
+  stage: "Round 1",
+};
+
+export default ({ children }) => (
+  <PostLayout meta={meta}>{children}</PostLayout>
+);
+
+<div style={{ display: "flex" }}>
+  <Figure
+    src="/2024/3-1.e20a4c08444ac688.png"
+    width={600}
+  />
+</div>
+
+‘커닝시티 헤어샵’에는 원장 돈 지오바네와 보조 안드레아가 일하고 있다.
+어느 날, 이 둘에게 헤어 스타일링을 받으려는 고객 $N$ 명이 한 줄로 기다리고 있다.
+
+돈 지오바네와 안드레아는 각 고객이 서비스받는 시간을 알고 있다.
+고객들은 줄을 선 순서대로 서비스를 받아야 한다.
+돈 지오바네와 안드레아는 협력해서 일하여
+최대 $2$ 명의 고객을 동시에 서비스할 수 있다.
+만약 두 사람이 동시에 $2$ 명의 고객을 서비스하는 경우,
+두 고객 중 서비스받는 시간이 오래 걸리는 쪽의 시간이 걸린다.
+
+돈 지오바네와 안드레아가 모든 고객을 서비스하는 데 걸리는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하라.
+
+## 입력 형식
+
+첫 줄에 고객의 수를 나타내는 정수 $N$이 주어진다. ($1 \le N \le 500\,000$)
+
+그다음 줄에 $N$ 명의 고객이 서비스받는 시간을 나타내는 정수 $N$ 개가
+줄을 선 순서대로 공백으로 구분되어 주어진다.
+
+각 고객이 서비스받는 시간은 $1$ 이상 $1\,000\,000\,000$ 이하다.
+
+## 출력 형식
+
+첫 줄에 모든 고객을 서비스하기 위해 필요한 최소 시간을 출력한다.
+
+## 예제 1
+
+<Examples>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Input>
+4
+2 3 4 3
+  </Input>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Output>
+7
+  </Output>
+</Examples>
+
+## 예제 2
+
+<Examples>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Input>
+4
+1 3 3 1
+  </Input>
+  {/* prettier-ignore */}
+  <Output>
+5
+  </Output>
+</Examples>
+
+## 예제 설명
+
+입력 예제 1에서 첫 번째와 두 번째 고객을 동시에 서비스해서 시간 $3$이 걸리고,
+세 번째와 네 번째 고객을 동시에 서비스해서 시간 $4$가 걸린다. 따라서, 전체 시간은 $7$이며
+이 방법이 최선이다.
+
+입력 예제 2에서 첫 번째 고객을 서비스하여 시간 $1$이 걸리고, 두 번째와 세 번째
+고객을 동시에 서비스하여 시간 $3$이, 네 번째 고객을 서비스하여 시간 $1$이 걸린다.
+따라서, 전체 시간은 $5$이며 이 방법이 최선이다.
+
+## 채점 방식
+
+입력 케이스들은 다음과 같은 종류로 구별되며, 한 종류의 케이스를 다 맞혀야 그 종류에 배정된 점수를 받을 수 있다.
+
+<Subtask index={1} score={19}>
+  $N \le 4$
+</Subtask>
+<Subtask index={2} score={14}>
+  고객이 서비스받는 시간은 모두 동일함.
+</Subtask>
+<Subtask index={3} score={67}>
+  추가적인 제한 조건이 없음.
+</Subtask>
+
+## 해설
+
+<Solution>
+DP를 사용해서 문제를 풀 수 있다.
+$D_i$를 $i$ 번째 고객부터 서비스할 때 걸리는 최소 시간이라고 하자.
+총 $N$ 명의 고객이 있고, 각 고객이 서비스받는 데 걸리는 시간을 $A_1, A_2, \dots, A_N$이라고 하자.
+
+그러면 $D$ 배열의 값은 다음과 같다:
+$$
+\begin{align*}
+D_N & = A_N, \\
+D_{N-1} & = \max(A_{N-1}, A_N), \\
+D_i & = \min(A_i + D_{i+1}, \max(A_i, A_{i+1}) + D_{i+2}) \quad \forall i \leq N - 2.
+\end{align*}
+$$
+
+최종적으로 $D_1$의 값이 정답이 된다.
+</Solution>