Leaky Integrate-and-fire (LIF) model Example

LIFモデルの定義式

問題設定

1. 各パラメータの値
   時刻tでの膜電位：V [mV]
   時定数：\tau_m = 20 [ms]
   静止電位：E_L = -75 [mV]
   スパイク発射のための閾値：V_th = -54 [mV]
   リセット電位：V_reset = -70 [mV]
2. 発火率は閾値V_thに達してから次の閾値に達するまでの時間[s]の逆数
3. シミュレーションでの微分方程式の解法はオイラー法を使用する

LIFモデルに対し一定の入力（I）を与えたときの発火率をfとしたとき，入出力曲線f=F(i)を求める

1. LIFモデルの入出力曲線をシミュレーションによって求める

LIFモデルの定義式をオイラー法を用いて数値的に解き入出力曲線fをグラフ化すると以下のグラフが得られる．

グラフの横軸（I）に着目すると，Iが21を超えると発火していることが分かる．
その理由は，LIFモデルが発火するのは与えるIの値がI>V_th-E_Lを満たすときのみであるからだ．
この場合，発火に必要な入力はV_th - EL = -54 + 75 = 21 となりIが21を超過した値が与えられると発火する．
ここで，時間ステップtと膜電位Vの関係を見てみよう．
(a) I=21の場合
膜電位が発火の閾値V_th = -54 [mV]を超えず発火していないことが分かる．

(b) I=22の場合
膜電位が発火の閾値V_th = -54 [mV]を超えて発火していることが分かる．
発火後，膜電位は初期値に戻る．

2. LIFモデルの入出力曲線を解析的(手計算)によって求める

計算過程はここに記述．
結果としてf = F(I) = 1 / (20 * \log(|5-I|/|21-I|))が得られ，これをグラフ化すると以下のグラフとなる．

3. LIFモデルの入出力曲線を近似解を求める

f = F(i)の解析解はIが十分大きい際，Iの一次関数として近似可能である．今回の場合は，I=21以上の際にLIFモデルが発火するため，I=21以上のIが与えられると近似可能である．
近似後のfはf = F(I) = (I + E_L L V_th) / (\tau_m*(V_th-V_reset))として定義されることが知られている．

各グラフを重ねて可視化した図

F_simがシミュレーションでのグラフ．F_0が解析解でのグラフ．F_1が近似解でのグラフを表す．