-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 5
/
5.html
805 lines (724 loc) · 34.2 KB
/
5.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
<!doctype html>
<html lang="ja">
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>パターン認識・機械学習勉強会 第5回 @ ワークスアプリケーションズ</title>
<meta name="description" content="Seminar of category theory">
<meta name="author" content="Koichi Nakamura">
<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes" />
<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black-translucent" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=no">
<link rel="stylesheet" href="css/reveal.css">
<link rel="stylesheet" href="css/theme/beige.css" id="theme">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" CONTENT="IE=EmulateIE7" />
<!-- For syntax highlighting -->
<link rel="stylesheet" href="plugin/highlight/styles/github.css">
<!-- If the query includes 'print-pdf', use the PDF print sheet -->
<script>
document.write( '<link rel="stylesheet" href="css/print/' + ( window.location.search.match( /print-pdf/gi ) ? 'pdf' : 'paper' ) + '.css" type="text/css" media="print">' );
</script>
<script type="text/javascript"
src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML">
</script>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
tex2jax: {
inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ]
}
});
</script>
<style type="text/css">
<!--
div.definition {
padding-left: 10px;
padding-right: 10px;
border: 4px solid #333333;
box-shadow: 0 0 10px rgba(0, 0, 0, 0.15);
}
.reveal .chapter-title {
margin-top: 3em;
}
.reveal {
font-size: 36px;
line-height: 1.4em;
}
.reveal .slides {
text-align: left;
}
.reveal section img {
border: none;
background: 0;
margin-left: 1em;
margin-right: 1em;
box-shadow: none;
}
.reveal strong {
color: #ff6666;
}
.reveal sup {
font-size: 40%;
}
.reveal .note {
font-size: 40%;
}
.reveal .controls div.navigate-up,
.reveal .controls div.navigate-down {
display: none;
}
.reveal .block {
border: solid 2px;
position: relative;
border-radius: 8px;
margin: 0.5em;
padding: 1em 0.8em 0.5em 0.8em;
}
.reveal .block:after {
content: "";
display: block;
clear: both;
height: 1px;
overflow: hidden;
}
-->
</style>
<!--[if lt IE 9]>
<script src="lib/js/html5shiv.js"></script>
<![endif]-->
</head>
<body>
<div class="reveal">
<!-- Any section element inside of this container is displayed as a slide -->
<div class="slides">
<section>
<h2>パターン認識・<br> 機械学習勉強会 <br> 第5回</h2>
<h3>@ワークスアプリケーションズ</h3>
<small> 中村晃一 <br> 2014年3月13日 </small>
</section>
<section>
<h3>謝辞</h3>
<p>
この会の企画・会場設備の提供をして頂きました<br>
㈱ ワークスアプリケーションズ様<br>
にこの場をお借りして御礼申し上げます.
</p>
</section>
<section>
<h2 class="chapter-title"> 線形識別モデル:ロジスティック回帰 </h2>
</section>
<section>
<p>
前回に引き続き線形識別モデル(PRML第4章)を進めていきます.
</p>
</section>
<section>
<p>
前回は
</p>
<ul>
<li> 線形識別関数の最適化に最小二乗法を用いるのは不適切である. </li>
<li> そこで, 目標ベクトル $\mathbf{t}$ の確率的生成モデルを考えると, </li>
<li> 2クラスの場合, ロジスティック・シグモイド関数 $\sigma$ でモデル化出来る事がわかった. </li>
\[ p(C_1|\mathbf{x})=\sigma(\mathbf{w}^T\Psi(\mathbf{x})) \]
</ul>
<p>
という話をしました.
</section>
<section>
<p>
続いてこのモデルに基づく回帰分析の手法の解説をします.
</p>
<p>
少し難しめですが, 非線形回帰は初登場の話題なので頑張りましょう.
</p>
</section>
<section>
<h3> 2クラスロジスティック回帰 </h3>
<p>
まず２クラスの場合に, ロジスティックモデル
\[ p(C_1|\mathbf{x})=\sigma(\mathbf{w}^T\Psi(\mathbf{x})) \]
のパラメータ $\mathbf{w}$ を最尤法で決定する問題を考えます.
</p>
<p>
以下, 簡単の為 $\boldsymbol{\phi} = \Psi(\mathbf{x})$ と書きます.
</p>
</section>
<section>
<p>
まず,
\[ p(C_1|\boldsymbol{\phi})=\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}) \]
の時,
\[ p(C_2|\boldsymbol{\phi})=1-p(C_1|\boldsymbol{\phi}) \]
となります.
</p>
</section>
<section>
<p>
学習データの一組 $(\boldsymbol{\phi}, t)\,(t\in\{0,1\})$ を, $\mathbf{x}$ がクラス $C_1$ の時に $t=1$ となるように定めれば, 尤度は
\[ L(\mathbf{w}|\boldsymbol{\phi},t) = \left\{\begin{array}{cc}
\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}) & (t = 1\text{のとき}) \\
1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}) & (t = 0\text{のとき})
\end{array}\right.\]
となりますが, これは
\[ L(\mathbf{w}|\boldsymbol{\phi},t) = \sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})^t\left\{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\right\}^{1-t} \]
と書くことが出来ます.
</p>
</section>
<section style="font-size:90%">
<p>
よって, 学習データ $D=\{(\boldsymbol{\phi}_1,t_1),(\boldsymbol{\phi}_2,t_2),\ldots,(\boldsymbol{\phi}_n,t_n)\}$ に対する対数尤度は
\[ L(\mathbf{w}|D) = \prod_{i}\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)^{t_i}\left\{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)\right\}^{1-t_i} \]
より
\[ \ln L(\mathbf{w}|D) = \sum_i\left[t_i\ln\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)+(1-t_i)\ln\left\{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)\right\}\right] \]
となります. これを最大にする $\mathbf{w}$ を求める事が目標です. しかし, これは非線形な関数 $\sigma$ を含むので最小二乗法のように簡単には解けません.
</p>
</section>
<section>
<p>
まず $\ln L$ の微分係数を調べておきましょう. 順番にやってみると
\[ \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sigma(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1+\exp(-x)} \\
&= \frac{\exp(-x)}{(1+\exp(-x))^2} \\
&= \frac{1}{1+\exp(-x)}\left\{1-\frac{1}{1+\exp(-x)}\right\} \\
&= \sigma(x)(1-\sigma(x))
\end{aligned} \]
なので
</p>
</section>
<section>
<p>
\[ \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln \sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})
&= \frac{1}{\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}) \\
&= \frac{1}{\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})}\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\left\{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\right\}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi} \\
&= \{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\}\boldsymbol{\phi}
\end{aligned} \]
となります. 同様に
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln \{1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\} = -\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi})\boldsymbol{\phi} \]
となります.
</p>
</section>
<section>
<p>
よって
\[ \begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln L(\mathbf{w}|D) \\
=&\sum_i\left[t_i(1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i+(1-t_i)(0-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i\right]
\end{aligned} \]
となりますが, これをよく見ると
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln L(\mathbf{w}|D) = \sum_i (t_i-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i \]
と書けます.
</p>
</section>
<section>
<p>
さらに,
\[ \begin{aligned}
\mathbf{t}&=(t_1,t_2,\ldots,t_n)^T\\
\mathbf{y}&=(\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_1),\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_2),\ldots,\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_n))^T\\
\mathbf{X}&=(\boldsymbol{\phi}_1,\boldsymbol{\phi}_2,\ldots,\boldsymbol{\phi}_n)^T
\end{aligned} \]
と置けば,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln L(\mathbf{w}|D) = \mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y}) \]
となります. これが対数尤度の勾配 $\nabla\ln L$ です.
</p>
</section>
<section style="font-size:90%">
<p>
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathbf{w}}\ln L(\mathbf{w}|D) = \sum_i (t_i-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i \]
を再び $\mathbf{w}$ で微分すれば <strong> ヘッセ行列 (Hessian matrix) </strong>
\[ \mathbf{H}=-\sum_i\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)(1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i\boldsymbol{\phi}_i^T \]
が得られます.
</p>
<p class="fragment">
整理すれば以下の様になります.
\[ \begin{aligned}
\mathbf{H}&=-\mathbf{X}^T\mathbf{R}\mathbf{X}\\
\mathbf{R}&=\begin{pmatrix}
\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_1)(1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_1)) & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_n)(1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_n))
\end{pmatrix}
\end{aligned} \]
</p>
</section>
<section>
<p>
前頁の $\mathbf{H}$ は $\mathbf{R}$ の対角成分が全て正であることに注意すると,
\[ \text{任意の $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{x}^T\mathbf{H}\mathbf{x} < 0$} \]
が成り立つので, <strong> 負定値 (negative definite)</strong> である事が分かります.
これは 「$\ln L$ は極大値を唯一つ持ち,極小値は持たない」という事を示します
</p>
<p style="font-size:70%">
高校数学で学んだ $f''(x) < 0$ ならばグラフは上に凸という事の一般化です.
</p>
<div align="center"> <img width="600px" src="fig/hessian-matrix.png"> </div>
</section>
<section>
<p>
まとめましょう.
</p>
<div class="block" style="border-color:blue;font-size:90%">
<h4> ロジスティックモデルにおける対数尤度 $\ln L$ </h4>
<p>
$\ln L$ は唯一つの極大値を持ち極小値は持たない.
</p>
<ul>
<li> 勾配: $\nabla \ln L = \mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y})$ </li>
<li> ヘッセ行列: $\mathbf{H} = -\mathbf{X}^T\mathbf{R}\mathbf{X}$ </li>
</ul>
<p style="font-size:90%">
ここで
\[ \begin{aligned}
\mathbf{t}&=(t_1,t_2,\ldots,t_n)^T\\
\mathbf{y}&=(\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_1),\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_2),\ldots,\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_n))^T\\
\mathbf{X}&=(\boldsymbol{\phi}_1,\boldsymbol{\phi}_2,\ldots,\boldsymbol{\phi}_n)^T
\end{aligned} \]
$\mathbf{R}$ は対角行列で
\[ R_{ii} = \sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)(1-\sigma(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\phi}_i)) \]
</p>
</div>
</section>
<section>
<p>
さて, $\ln L$ の最大化を行うために本日は基本的な３つの手法の紹介を行います.
</p>
<ol>
<li> ニュートン・ラフソン法 </li>
<li> 最急降下法 </li>
<li> 確率的勾配降下法 </li>
</ol>
</section>
<section>
<h3> ニュートン・ラフソン法 </h3>
<p>
$\ln L$ は凸関数なので $\ln L$ を最大にする $\mathbf{w}$ を求める事を,
$\nabla \ln L = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{w}$ を求める問題に帰着して解くことが出来ます.
</p>
<p>
非線形方程式の反復解法では <strong> ニュートン・ラフソン法 (Newton-Raphson method) </strong> が有名です.
</p>
</section>
<section>
<p>
ニュートン・ラフソン法では, 適当な初期値 $\mathbf{w}_0$ を定め,
\[ \mathbf{w}_{k+1} = \mathbf{w}_k - \mathbf{H}_k^{-1}\nabla \ln L_k \]
によって反復を行い $\mathbf{w}$ を収束させます.
</p>
<p class="fragment">
この単純なニュートン・ラフソン法では必ずしも極小値に収束するとは限らず極大値に収束したり発散してしまう場合があります。そこで準ニュートン法というものが登場しますが、これは後の回に説明します。
</p>
<p class="fragment" style="font-size:80%">
一変数方程式 $f'(x)=0$ にニュートン・ラフソン法(<a href="https://nineties.github.io/math-seminar/4.html">参考</a>) を適用すると
\[ x_{k+1} = x_k - \frac{f'(x_k)}{f''(x_k)} \]
という反復公式が得られますが, これを多変数に拡張したものです. 二次収束します.
</p>
</section>
<section>
<p>
先ほどの式を代入すると
\[ \mathbf{w}_{k+1} = \mathbf{w}_k + (\mathbf{X}^T\mathbf{R}_k\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y}_k) \]
となります. 行列 $\mathbf{R}$ は $\mathbf{w}$ を含むので反復の度に計算が必要である事に注意しましょう.
</p>
<p>
$\mathbf{R}$ は重み付け行列と呼ばれるので, 上記のアルゴリズムは <strong> 反復再重み付け最小二乗法 (iterative reweighted least squares method, IRLS) </strong> と呼ばれます.
</p>
</section>
<section>
<div class="block" style="border-color:blue;font-size:90%">
<h4> IRLS法による2クラスロジスティック回帰 </h4>
<p> 適当な初期値 $\mathbf{w}_0$ から始め
\[ \mathbf{w}_{k+1} = \mathbf{w}_k + (\mathbf{X}^T\mathbf{R}_k\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y}_k) \]
で反復を行って $\mathbf{w}$ を求める. </p>
<p>
ここで
\[ \begin{aligned}
\mathbf{t}&=(t_1,t_2,\ldots,t_n)^T\\
\mathbf{y}_k&=(\sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_1),\sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_2),\ldots,\sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_n))^T\\
\mathbf{X}&=(\boldsymbol{\phi}_1,\boldsymbol{\phi}_2,\ldots,\boldsymbol{\phi}_n)^T
\end{aligned} \]
$\mathbf{R}$ は対角行列で
\[ R_{ii} = \sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_i)(1-\sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_i)) \]
</p>
</div>
</section>
<section>
<p>
細かい話の前に, 簡単な実装例をお見せします.以下を学習データとします.
</p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-training.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p>
ガウス基底を以下のように配置して使う事にしました. 各円の半径は基底の標準偏差パラメータの値です.
</p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-bases.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p>
初期状態では $\mathbf{w}=\mathbf{0}$ としました.
</p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter0.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復1回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter1.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復2回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter2.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復3回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter3.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復4回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter4.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復5回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter5.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復6回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter6.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復7回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter7.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復8回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter8.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復9回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter9.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復10回目. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-1-iter10.png"> <a href="prog/prog5-1.py" style="font-size:60%">prog5-1.py</a> </div>
</section>
<section>
<p>
この様に, IRLS は収束が非常に速いという事が特徴です.
</p>
<p>
一方で, 次頁以降で説明するような事柄に注意が必要です.
</p>
</section>
<section>
<h3> 計算上の注意 </h3>
<p>
シグモイド関数
\[ \sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)} \]
は指数関数 $\exp$ を含む為, 簡単にオーバーフロー・アンダーフロー・情報落ちを起こします.
</p>
</section>
<section>
<p>
倍精度の場合, オーバーフロー・アンダーフローを防ぐ為には, 引数は大体 $[-709, 745]$ の範囲内になければいけません.
</p>
<pre><code class="python" style="max-height:400px">>>> from math import exp
>>> exp(709)
8.218407461554972e+307
>>> exp(710)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: math range error
>>> exp(-745)
5e-324
>>> exp(-746)
0.0
</code></pre>
</section>
<section>
<p>
また, $[-36, 36]$ あたりを外れると完全に情報が落ちます.
</p>
<pre><code class="python" style="max-height:400px">>>> from math import exp
>>> (1 + exp(36)) - exp(36)
1.0
>>> (1 + exp(37)) - exp(37)
0.0
>>> (1 + exp(-36)) - 1
2.220446049250313e-16
>>> (1 + exp(-37)) - 1
0.0
</code></pre>
</section>
<section>
<p>
オーバーフローやアンダーフローは例えば
\[ \sigma(a) = \frac{1}{2}(1+\tanh (a/2)) \]
などの等式を用いると回避する事が出来ますが, それでも情報落ちは起きてしまいます.
</p>
</section>
<section>
<p>
アンダーフローや情報落ちが起きると, 本来 $0 < \sigma(a) < 1$ であるシグモイド関数の値が $0$ や $1$ になってしまいます.
このとき, $(\mathbf{X}^T\mathbf{R}\mathbf{X})^{-1}$ が特異行列になってしまうので, アルゴリズムを実行する事ができなくなります.
</p>
<p>
誤差が出やすい事を理解し, 行列の条件数を追跡するなど大きな誤差が生じた場合に検出出来るようにする工夫が必要です.
</p>
</section>
<section>
<h3> 停止条件について </h3>
<p>
IRLSの反復を停止する一般的な方法もありません.
</p>
<p>
通常のニュートン・ラフソン法では $\mathbf{w}_n$ と $\mathbf{w}_{n+1}$ の相対誤差
\[ \frac{||\mathbf{w}_n-\mathbf{w}_{n+1}||}{||\mathbf{w}_n||} \]
がある値以下である事を停止条件としますが, IRLSではその前に $(\mathbf{X}^T\mathbf{R}\mathbf{X})^{-1}$ が特異行列になってしまったりします.
</p>
</section>
<section>
<p>
現実には以下の様な複数の終了条件を組合せてアルゴリズムを実行する事になると思います.
</p>
<ul>
<li> 相対誤差 $||\mathbf{w}_n-\mathbf{w}_{n+1}||/||\mathbf{w}_n||$ がある値以下の時に停止. </li>
<li> 残差平方和 $\sum_i||t_i-\sigma(\mathbf{w}_n^T\boldsymbol{\phi}_i)||^2$ がある値以下の時に停止. </li>
<li> $(\mathbf{X}^T\mathbf{R}\mathbf{X})^{-1}$ が特異行列に近づいてしまったら停止. </li>
<li> 反復回数上限に達したら停止. </li>
</ul>
</section>
<section>
<h3> 勾配法 </h3>
<p>
IRLSよりも一般に収束が遅いですが使いやすい手法に <strong> 勾配法 (gradient method) </strong> があります.
</p>
<p>
勾配法とは,勾配 $\nabla f(\mathbf{x})$ を参考にして局面を下っていくもしくは登っていく手法です. 移動先をどのように決定するかによって幾つかの手法があります.
</p>
<div align="center"> <img width="500px" src="fig/gradient-method.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 最急降下法 </h3>
<p>
勾配 $\nabla \ln L = \mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y})$ は, 点$\mathbf{w}$における $\ln L$ の増加率の最も急な方向を向いています.
その反対方向に向かって進んでいけば極小値にたどり着くことができます. これを <strong> 最急降下法 (steepest descent method) </strong> と呼びます. (今回は最大値を求めたいので勾配の方向に進みます.)
</p>
</section>
<section>
<p>
具体的には,適当なパラメータ $\alpha$ を用意して
\[ \begin{aligned}
\mathbf{w}_{k+1} &= \mathbf{w}_k + \alpha\nabla \ln L \\
&= \mathbf{w}_k + \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{t}-\mathbf{y})
\end{aligned} \]
によって進んでいきます. 最大値では 勾配が $\mathbf{0}$ になるので,
適当なノルムを用いて $||\nabla \ln L||<\varepsilon$ という条件で終了します.
</p>
</section>
<section>
<p>
先ほどと同様のデータに適用してみます.
</p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-training.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復10回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter10.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復20回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter20.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復30回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter30.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復40回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter40.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復50回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter50.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復100回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter100.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 153回目で反復停止. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-2-iter153.png"> <a href="prog/prog5-2.py" style="font-size:60%">prog5-2.py</a> </div>
</section>
<section>
<p>
簡単なアルゴリズムである反面、IRLSに比べると収束が大分遅いという事が分かると思います. 今回は $\alpha = 0.2$ と固定して使いましたが, これをを動的に変更するなどのバリエーションもあります.
</p>
</section>
<section>
<h3> 確率的勾配降下法 </h3>
<p>
再急降下法では 学習データを全て使って $\nabla \ln L$ を計算しました. 学習データを 1つずつ順番に使うように変更した物を <strong> 確率的勾配降下法 (stochastic gradient descent) </strong> と呼びます.
</p>
<p>
学習データを先頭から順番に処理出来るオンラインアルゴリズムになっています.
</p>
</section>
<section>
<p>
つまり,
\[ \mathbf{w}_{k+1} = \mathbf{w}_k + \eta_k (t_{k+1}-\sigma(\mathbf{w}_k^T\boldsymbol{\phi}_{k+1}))\boldsymbol{\phi}_{k+1} \]
によって更新を行います. $\eta_k$ は学習率を調整するパラメータで, 徐々に小さくしていきます.
</p>
</section>
<section>
<p>
先ほどと同様のデータに適用してみます.今回は $n$ 個のデータセット全体を2週する形で, トータル $2n$ 回の反復を行ってみました.
</p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-training.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復10回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter10.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復20回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter20.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復30回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter30.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復40回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter40.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復50回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter50.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復100回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter100.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復150回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter150.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<p> 反復200回目の様子. </p>
<div align="center"> <img width="700px" src="prog/fig5-3-iter200.png"> <a href="prog/prog5-3.py" style="font-size:60%">prog5-3.py</a> </div>
</section>
<section>
<h3> 多クラスロジスティック回帰 </h3>
<p>
クラス数 $K$ が $3$ 以上の場合を考えます.
\[ p(C_i|\mathbf{x}) = \frac{\pi(\mathbf{x}|C_i)p(C_i)}{\pi(\mathbf{x})} = \frac{\pi(\mathbf{x}|C_i)p(C_i)}{\sum_jg \pi(\mathbf{x}|C_j)p(C_j)} \]
において,
\[ a_i = \ln\pi(\mathbf{x}|C_i)p(C_i) \]
と置けば,
\[ p(C_i|\mathbf{x}) = \frac{\exp(a_i)}{\sum_j\exp(a_j)} \]
となります. この関数は <strong> ソフトマックス (softmax function) </strong> と呼ばれます.
</p>
</section>
<section>
<p>
ソフトマックス関数と呼ばれるのは, 全ての $j\neq i$ に対して $a_i \gg a_j$ の時には
\[ \exp(a_j-a_i) \approx 0 \]
となるので
\[ p(C_i|\mathbf{x}) \approx 1 \]
となり, そうでなければ
\[ p(C_i|\mathbf{x}) \approx 0 \]
となるからです.
</p>
</section>
<section>
<p>
多クラスの場合も同様に
\[ a_i = \mathbf{w}_i^T\boldsymbol{\phi} \]
とモデル化します.
</p>
<p>
学習データの一組 $(\boldsymbol{\phi}, \mathbf{t})$ は 1-of-K符号化によって定めます.
</p>
</section>
<section>
<p>
学習データ $D=\{(\boldsymbol{\phi}_1,\mathbf{t}_1),\ldots,(\boldsymbol{\phi}_n,\mathbf{t}_n)\}$ に対する尤度関数は
\[ L(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_K|D) = \prod_{i=1}^n\prod_{k=1}^K p(C_k|\boldsymbol{\phi}_i)^{t_{ik}} \]
となるので対数尤度は
\[ \ln L(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_K|D) = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^K t_{ik}\ln p(C_k|\boldsymbol{\phi}_i) \]
</p>
</section>
<section>
<p>
これを $\mathbf{w}_j$ で微分すると, 先ほどと同様にして
\[ \frac{\partial}{\partial\mathbf{w}_j}\ln L = \sum_{i=1}^n(t_{ik}-p(C_j|\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i \]
となるので, これを $\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\ldots,\mathbf{w}_K$ について縦に並べたものが対数尤度の勾配となります.
\[ \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial\mathbf{w}_1}\ln L \\
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial\mathbf{w}_K}\ln L \\
\end{pmatrix} \]
</p>
</section>
<section>
<p>
さらにもう一度 $\mathbf{w}_k$ で微分すると
\[ \begin{aligned}
&\mathbf{H}_{jk} = \frac{\partial^2}{\partial\mathbf{w}_k\partial\mathbf{w}_j}\ln L = -\sum_{i=1}^np(C_k|\boldsymbol{\phi}_i)(\delta_{jk}-p(C_j|\boldsymbol{\phi}_i))\boldsymbol{\phi}_i\boldsymbol{\phi}_i^T \\
&\qquad\qquad\text{($\delta_{jk}$はディラックの $\delta$ 関数)}
\end{aligned} \]
となるので, これを並べたブロック行列
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix}
\mathbf{H}_{11} & \mathbf{H}_{12} & \cdots & \mathbf{H}_{1K} \\
\mathbf{H}_{21} & \mathbf{H}_{22} & \cdots & \mathbf{H}_{2K} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{H}_{K1} & \mathbf{H}_{K2} & \cdots & \mathbf{H}_{KK}
\end{pmatrix} \]
がヘッセ行列となります.
</p>
</section>
<section>
<p>
多クラスの場合のサンプルコードはまだ作っていないので, 後で更新します.
</p>
</section>
<section>
<h3> 第5回はここで終わります </h3>
<p>
資料の作成が追いつかなかったのでここで一旦終了します. 次回はベイジアンロジスティック回帰に進みます.
テキストではラプラス近似を利用した手法を紹介していますが, この勉強会ではMCMCを利用して解いてみます.
</p>
</section>
</div>
</div>
<script src="lib/js/head.min.js"></script>
<script src="js/reveal.min.js"></script>
<script>
// Full list of configuration options available here:
// https://github.com/hakimel/reveal.js#configuration
Reveal.initialize({
controls: false,
progress: true,
history: true,
center: true,
rollingLinks: false,
theme: Reveal.getQueryHash().theme, // available themes are in /css/theme
transition: Reveal.getQueryHash().transition || 'none', // default/cube/page/concave/zoom/linear/fade/none
// Optional libraries used to extend on reveal.js
dependencies: [
{ src: 'lib/js/classList.js', condition: function() { return !document.body.classList; } },
{ src: 'plugin/markdown/showdown.js', condition: function() { return !!document.querySelector( '[data-markdown]' ); } },
{ src: 'plugin/markdown/markdown.js', condition: function() { return !!document.querySelector( '[data-markdown]' ); } },
{ src: 'plugin/highlight/highlight.js', async: true, callback: function() { hljs.initHighlightingOnLoad(); } },
{ src: 'plugin/zoom-js/zoom.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } },
{ src: 'plugin/notes/notes.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
// { src: 'plugin/search/search.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
// { src: 'plugin/remotes/remotes.js', async: true, condition: function() { return !!document.body.classList; } }
]
});
Reveal.addEventListener( 'slidechanged', function( event ) {
MathJax.Hub.Rerender(event.currentSlide);
});
</script>
</body>
</html>