diff --git a/cap-Relatividad-Especial.tex b/cap-Relatividad-Especial.tex index bd4691d..55d14d0 100644 --- a/cap-Relatividad-Especial.tex +++ b/cap-Relatividad-Especial.tex @@ -93,7 +93,7 @@ \subsection{El experimento de Michelson-Morley} \begin{equation} \label{eq:michelson5} \Delta t=\frac{2}{c}\left[\frac{L_{AB}}{1-\beta^2}-\frac{L_{AC}}{\sqrt{1-\beta^2}}\right]. \end{equation} -Suponiendo que la velocidad del interferómetro respecto al éter es peque\~na comparada con $c$, entonces podemos expandir en potencias de $\beta$ y obtener +Suponiendo que la velocidad del interferómetro respecto al éter es pequeña comparada con $c$, entonces podemos expandir en potencias de $\beta$ y obtener \begin{equation} \label{eq:michelson6} \Delta t\approx\frac{2}{c}\left[(L_{AB}-L_{AC})+\beta^2(L_{AB}-\frac{1}{2}L_{AC})\right]. \end{equation} @@ -110,7 +110,7 @@ \subsection{El experimento de Michelson-Morley} En el interferómetro usado por Michelson y Morley se usaron múltiples reflexiones, con el fin de aumentar el valor efectivo de $L$, de modo que $L\approx 11\,\rm m$, $\lambda\approx 5.9\times 10^{-7}\,\rm m$, $v\approx 3\times 10^4\,\rm m/s$ (la rapidez de la Tierra en su movimiento de traslación en torno al Sol) y $c \approx 3\times 10^{8}\,\rm m/s$, con lo que $\Delta\varphi \approx 0,4\,\pi$, que corresponde aproximadamente a un corrimiento de \textit{media franja} en el patrón de interferencia, que debería ser posible de observar, dado el error experimental del montaje (que podía detectar corrimientos de aproximadamente $0,01$ franjas). -Aún cuando el experimento se realizó múltiples veces, en diferentes épocas del a\~no, (y se sigue repitiendo hasta la actualidad, cada vez con mayor precisión, ver \cite{MHBSP03}) \textit{el experimento de Michelson-Morley arroja un resultado nulo}, es decir, ninguna variación \textit{observable} del patrón de interferencia al variar la orientación del interferómetro respecto al éter. +Aún cuando el experimento se realizó múltiples veces, en diferentes épocas del año, (y se sigue repitiendo hasta la actualidad, cada vez con mayor precisión, ver \cite{MHBSP03}) \textit{el experimento de Michelson-Morley arroja un resultado nulo}, es decir, ninguna variación \textit{observable} del patrón de interferencia al variar la orientación del interferómetro respecto al éter. Resumiendo: el experimento de Michelson-Morley, realizado con la intensión de detectar variaciones de la velocidad de la luz respecto al éter y de esta forma poder determinar aquel SR especial en el que la velocidad de la luz es $c$, no suministra los resultados esperados. En otras palabras, la nula variación de las franjas de interferencia \textit{impide distinguir físicamente }(dentro del error experimental) aquel supuesto SR en el que el éter está en reposo y la luz parece propagarse con una velocidad independiente del estado de movimiento del interferómetro. @@ -147,17 +147,16 @@ \subsection{Principio de la constancia de la velocidad de la Luz} \begin{quotation} \ovalbox{La velocidad (rapidez) de la luz tiene el mismo valor en todo SRI.} \end{quotation} -Más detalladamente, esto significa que las se\~nales luminosas se propagan, \textit{en el vacío}, rectilíneamente con la misma rapidez ($=:c$) en todo instante, en todas direcciones, en todos los SRI's, independiente del movimiento de sus fuentes. El resultado del experimento de Michelson-Morley es consistente con el principio de constancia de la velocidad de la luz. +Más detalladamente, esto significa que las señales luminosas se propagan, \textit{en el vacío}, rectilíneamente con la misma rapidez ($=:c$) en todo instante, en todas direcciones, en todos los SRI's, independiente del movimiento de sus fuentes. El resultado del experimento de Michelson-Morley es consistente con el principio de constancia de la velocidad de la luz. -Además, se supone que la interacción electromagnética (``la luz'') se propaga a la \textit{máxima velocidad posible}. En otras palabras, no existe una se\~nal (más rigurosamente, una forma de propagar energía) conocida que viaje con mayor rapidez que la luz. +Además, se supone que la interacción electromagnética (``la luz'') se propaga a la \textit{máxima velocidad posible}. En otras palabras, se supone que no existe una señal (más rigurosamente, una forma de propagar energía) que viaje con rapidez mayor a la de la luz. Es importante descatar que la existencia de una velocidad máxima (finita!) de las interacciones es \textit{incompatible con el concepto de -cuerpo rígido}, puesto que éste es, por definición, un objeto ideal +cuerpo rígido}, puesto que éste es, por definición, un objeto idealizado que no sufre deformaciones que alteren sus dimensiones (largo, ancho, ...). Esta propiedad, sin embargo, requiere de la propagación \textit{instantánea} de interacciones en el interior del cuerpo. Es necesario, por tanto, desechar el concepto de ``cuerpo rígido''. Esto, por otra parte, obliga a desechar el concepto de ``regla -estándar'', que es (era) en el contexto newtoniano frecuentemente usado para definir patrones de longitud (metro patrón, etc.). - +estándar'', que es (era) en el contexto newtoniano frecuentemente usado para definir patrones de longitud (metro patrón, etc.). Por lo tanto, en la teoría de RE, la existencia de una velocidad máxima de propagación de las interacciones obliga a reducir el número de cantidades físicas en principio medibles independientemente sin ambig\"uedad, eliminando en general el concepto de distancia como concepto absoluto, y a reemplazarlo por el de medidas de tiempo. De hecho, la definición actual del patrón de longitud en el Sistema @@ -170,9 +169,9 @@ \subsection{Principio de la constancia de la velocidad de la Luz} Como una consecuencia de esta definición, la rapidez de la luz es hoy una cantidad \textit{exacta} con valor \begin{equation} -\boxed{c:=299.792.458\ m/s,} +\boxed{c:=299.792.458\rm\ m/s,} \end{equation} -ver \cite{CODATA00}. +ver referencia \cite{CODATA00}. \subsection{Definiendo posiciones y tiempos de eventos respecto a un SRI} @@ -180,7 +179,7 @@ \subsection{Definiendo posiciones y tiempos de eventos respecto a un SRI} En general, dado un evento $P$ en el espaciotiempo, \textit{definiremos} la posición (distancia) y tiempo del evento con respecto a un SRI $K$ dado, usando el siguiente procedimiento: -Un(a) observador inercial (puntual) define un SRI $K$ (de modo que él/ella esté ubicado en su origen) envíando se\~nales luminosas de modo que éstas sean reflejadas en cada evento $P$ y vuelvan al observador. El observador dispone de un reloj, con el que mide los tiempos de salida de la se\~nal, $T_1$ +Un(a) observador inercial (puntual) define un SRI $K$ (de modo que él/ella esté ubicado(a) en su origen) envíando señales luminosas de modo que éstas sean reflejadas en cada evento $P$ y vuelvan al observador. El observador dispone de un reloj, con el que mide los tiempos de salida de la señal, $T_1$ y llegada $T_2$. \begin{figure}[!h] \centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-diagrama-definicion-x-y-t.pdf}} @@ -188,12 +187,11 @@ \subsection{Definiendo posiciones y tiempos de eventos respecto a un SRI} \label{defdist} \end{figure} A partir de los datos medibles (tiempos propios) $T_1$ y $T_2$, \textit{definimos} la posición -$x$ de $P$ respecto al observador (distancia observador - evento $P$) y el +$x$ de $P$ respecto al observador (distancia observador -- evento $P$) y el tiempo $t$ que $K$ \textit{le asignará a} $P$ como: \begin{equation}\label{defxt} \boxed{x:=\frac{c}{2}(T_2-T_1), \qquad t:=\frac{1}{2}(T_2+T_1).} \end{equation} - Diremos que, respecto al SRI $K$, el evento $P$ ocurrió ``en la posición $x$ en el tiempo $t$''. Las relaciones inversas a (\ref{defxt}) son las familiares expresiones @@ -216,10 +214,10 @@ \subsection{Relacionando mediciones de tiempo entre dos observadores inerciales} velocidad constante respecto a un SRI $K$, respectivamente. \begin{figure}[H] \centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-diagrama-factor-k.pdf}} - \caption{Dos observadores inerciales intercambiando se\~nales luminosas.} + \caption{Dos observadores inerciales intercambiando señales luminosas.} \label{k1} \end{figure} -El observador $A$ envía dos se\~nales luminosas a $B$, en un intervalo de tiempo $(\Delta T)_A$, medido por $A$. +El observador $A$ envía dos señales luminosas a $B$, en un intervalo de tiempo $(\Delta T)_A$, medido por $A$. \textit{Supondremos}, como parece razonable, que el intervalo de tiempo medido por $B$ entre la llegada de los dos pulsos, $(\Delta T)_B$, es proporcional a $(\Delta T)_A$: @@ -243,7 +241,7 @@ \subsection{Relacionando mediciones de tiempo entre dos observadores inerciales} \subsection{Velocidad relativa de dos observadores inerciales} Considere dos OI's $A$ y $B$ que sincronizan sus relojes de -modo que éstos marquen cero en el evento común $O$, y que además intercambian se\~nales luminosas, tal como se ilustra en la figura \ref{fig:k2}. +modo que éstos marquen cero en el evento común $O$, y que además intercambian señales luminosas, tal como se ilustra en la figura \ref{fig:k2}. \begin{figure}[H] \centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-diagrama-velocidad-relativa.pdf}} \caption{Diagrama para determinar la velocidad relativa.} @@ -271,7 +269,7 @@ \subsection{Velocidad relativa de dos observadores inerciales} (\Delta T)_B=\sqrt{\frac{1+\frac{v_{BA}}{c}}{1-\frac{v_{BA}}{c}}} \,(\Delta T)_A. \label{k2} \end{equation} -Observe que esta relación es \textit{universal} en el sentido que conecta los intervalos de tiempo de cada par de eventos en la línea de mundo de dos observadores inerciales, siempre que éstos estén conectados por se\~nales luminosas, tal como lo muestra la figura \ref{k1}. +Observe que esta relación es \textit{universal} en el sentido que conecta los intervalos de tiempo de cada par de eventos en la línea de mundo de dos observadores inerciales, siempre que éstos estén conectados por señales luminosas, tal como lo muestra la figura \ref{k1}. En particular, podemos aplicar esta relación al caso en que $(\Delta T)_A$ y $(\Delta T)_B$ son los \textit{periodos de una onda electromagnética} que se propaga de $A$ a $B$. En este caso, podemos reescribir (\ref{tkt}) en términos de la \textbf{frecuencia} de la radiación: @@ -297,11 +295,11 @@ \subsection{Velocidad relativa de dos observadores inerciales} \begin{equation} z=\frac{v_{BA}}{c}+O(\frac{v_{BA}^2}{c^2}), \end{equation} -de modo que se recupera la conocida relación no-relativista. +de modo que se recupera la conocida expresión no-relativista. \subsection{Composición de velocidades} -Considere tres observadores inerciales $A$, $B$ y $C$ que intercambian se\~nales +Considere tres observadores inerciales $A$, $B$ y $C$ que intercambian señales luminosas como en la figura \ref{k3}. \begin{figure}[!h] \centerline{\includegraphics[height= 5cm]{fig/fig-diagrama-composicion-velocidades.pdf}} @@ -451,20 +449,20 @@ \subsection{Boosts de Lorentz} \label{secboostx} \subsection{Relatividad de la Simultaneidad} -Consideraremos aquí el ejemplo clásico de cómo dos eventos que son simultáneos respecto a un SRI no lo son respecto de otro en movimiento relativo. Para ello, considere un vagón de tren provisto de una lámpara en su centro que en el evento $O$ emite una se\~nal luminosa hacia los dos extremos del vagón. +Consideraremos aquí el ejemplo clásico de cómo dos eventos que son simultáneos respecto a un SRI no lo son respecto de otro en movimiento relativo. Para ello, considere un vagón de tren provisto de una lámpara en su centro que en el evento $O$ emite una señal luminosa hacia los dos extremos del vagón. \begin{figure}[H] \centerline{\includegraphics[height= 5cm]{fig/fig-diagrama-simultaneidad-01.pdf}} \caption{Los eventos $P$ y $Q$ son simultáneos respecto al SRI $K'$, comóvil con el tren. Adaptada a partir de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traincar_Relativity1.svg}{esta} figura original.} \label{sim01} \end{figure} -En el SRI $K'$ comóvil con el tren, el proceso transcurre como se representa en la figura \ref{sim01}. Si en este caso el largo del vagón es $d$ y se elige el origen del tiempo tal que $t'_O=0$, entonces las se\~nales luminosas (los ``fotones'') llegan (chocan) con las paredes izquierda y derecha en los eventos $P$ y $Q$, en el mismo tiempo $t'_P=t'_Q=d/2c$. Por lo tanto, los eventos $P$ y $Q$ son simultáneos respecto a este SRI $K'$. +En el SRI $K'$ comóvil con el tren, el proceso transcurre como se representa en la figura \ref{sim01}. Si en este caso el largo del vagón es $d$ y se elige el origen del tiempo tal que $t'_O=0$, entonces las señales luminosas (los ``fotones'') llegan (chocan) con las paredes izquierda y derecha en los eventos $P$ y $Q$, en el mismo tiempo $t'_P=t'_Q=d/2c$. Por lo tanto, los eventos $P$ y $Q$ son simultáneos respecto a este SRI $K'$. \begin{figure}[H] \centerline{\includegraphics[height= 5cm]{fig/fig-diagrama-simultaneidad-02.pdf}} \caption{Los eventos $P$ y $Q$ no son simultáneos respecto al SRI $K$, respecto al cual el tren se mueve con velocidad $V$. Adaptada a partir de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traincar_Relativity2.svg}{esta} figura original.} \label{sim02} \end{figure} -Por otro lado, la descripción de este mismo proceso desde el SRI $K$ ``fijo a la Tierra'', respecto al cual el vagón se mueve con velocidad $V=\beta c$, se esquematiza en la figura \ref{sim02}. En este caso, la se\~nal luminosa se propaga, de acuerdo a los postulados de la teoría, con (la misma) velocidad $c$ hacia ambos lados. Sin embargo, las paredes del vagón se mueven con velocidad $V$ hacia la derecha de modo que a pared izquierda se mueve hacia la se\~nal mientras que la pared derecha se aleja de ella. Claramente, en estas condiciones el evento $P$ (de intersección de la línea de mundo de la pared izquierda con la línea de mundo del fotón) ocurre \textit{antes que el evento} $Q$. Por lo tanto, respecto al SRI $K$ los eventos $P$ y $Q$ no son simultáneos. Esto significa que, en la teoría de RE, \textit{la simultaneidad de eventos es relativa}. +Por otro lado, la descripción de este mismo proceso desde el SRI $K$ ``fijo a la Tierra'', respecto al cual el vagón se mueve con velocidad $V=\beta c$, se esquematiza en la figura \ref{sim02}. En este caso, la señal luminosa se propaga, de acuerdo a los postulados de la teoría, con (la misma) velocidad $c$ hacia ambos lados. Sin embargo, las paredes del vagón se mueven con velocidad $V$ hacia la derecha de modo que a pared izquierda se mueve hacia la señal mientras que la pared derecha se aleja de ella. Claramente, en estas condiciones el evento $P$ (de intersección de la línea de mundo de la pared izquierda con la línea de mundo del fotón) ocurre \textit{antes que el evento} $Q$. Por lo tanto, respecto al SRI $K$ los eventos $P$ y $Q$ no son simultáneos. Esto significa que, en la teoría de RE, \textit{la simultaneidad de eventos es relativa}. Podemos cuantificar lo anterior usando la transformación de Lorentz (\ref{boost1}). Si los observadores en $K$ y $K'$ sincronizan sus relojes en el evento $O$ en que los rayos de luz dejan el punto medio (se ``enciende la lámpara''), entonces \begin{eqnarray} @@ -569,7 +567,7 @@ \subsection{Contracción de la longitud} Resumiendo, \textit{todo cuerpo que tiene una longitud $L_0$ respecto a un SRI comóvil parece tener una longitud \textbf{menor} (contracción) en un SRI respecto al cual el cuerpo está en movimiento}. \subsection{El cono de luz} -En la teoría de la Relatividad, un muy útil concepto es el \textbf{cono de luz}. Por definición, el cono de luz asociado a un evento $O$ es el \textit{conjunto de eventos en el espaciotiempo que pueden ser conectados con $O$ por se\~nales luminosas}. +En la teoría de la Relatividad, un muy útil concepto es el \textbf{cono de luz}. Por definición, el cono de luz asociado a un evento $O$ es el \textit{conjunto de eventos en el espaciotiempo que pueden ser conectados con $O$ por señales luminosas}. \begin{figure}[!h] \centerline{\includegraphics[height= 5cm]{fig/fig-cono-de-luz-1D.pdf}} \caption{Cono de luz en 1+1 dimensiones: futuro, pasado absoluto y ``limbo''} @@ -577,9 +575,9 @@ \subsection{El cono de luz} \end{figure} El cono de luz divide el espaciotiempo en tres regiones: ``dentro del cono de luz'', ``fuera del cono de luz'' (el ``limbo'') y ``sobre el cono de luz''. Esta clasificación es \textit{absoluta}, en el sentido que no depende del SRI respecto al cual se describan los eventos. -Los eventos \textit{dentro} del cono de luz asociado a $O$ son aquellos que \textit{pueden tener conexión causal} con $O$. Es posible además separar los eventos dentro del cono de luz en dos regiones: el \textbf{futuro absoluto} y el \textbf{pasado absoluto}. Los eventos en el futuro absoluto de $O$ son aquellos que pueden (en principio) ser alcanzados por partículas o se\~nales emitidas desde $O$ y que viajen con velocidades menores que la de la luz. Análogamente, los eventos en el pasado absoluto de $O$ son aquellos desde los cuales pueden ser emitidas partículas o se\~nales viajando con velocidades menores que la de la luz y que pueden eventualmente llegar a $O$. +Los eventos \textit{dentro} del cono de luz asociado a $O$ son aquellos que \textit{pueden tener conexión causal} con $O$. Es posible además separar los eventos dentro del cono de luz en dos regiones: el \textbf{futuro absoluto} y el \textbf{pasado absoluto}. Los eventos en el futuro absoluto de $O$ son aquellos que pueden (en principio) ser alcanzados por partículas o señales emitidas desde $O$ y que viajen con velocidades menores que la de la luz. Análogamente, los eventos en el pasado absoluto de $O$ son aquellos desde los cuales pueden ser emitidas partículas o señales viajando con velocidades menores que la de la luz y que pueden eventualmente llegar a $O$. -Por otro lado, los eventos \textit{fuera} del cono de luz no tienen conexión causal con $O$, no pueden afectar a $O$, ni $O$ puede afectar eventos en esa región, ya que eso requeriría se\~nales propagándose con velocidades superluminales. +Por otro lado, los eventos \textit{fuera} del cono de luz no tienen conexión causal con $O$, no pueden afectar a $O$, ni $O$ puede afectar eventos en esa región, ya que eso requeriría señales propagándose con velocidades superluminales. La clasificación de eventos asociada el cono de luz está relacionada con los valores que asume el intervalo entre dos eventos. Si $(t_O,x_O)$ son las coordenadas del evento $O$ y $(t,x)$ las de un evento $P$ cualquiera, entonces podemos calcular $\Delta s^2:=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2$. Este valor puede ser positivo, negativo, o nulo. \begin{itemize} @@ -587,7 +585,7 @@ \subsection{El cono de luz} \item Si $\Delta s^2<0$ entonces el evento $P$ está fuera del cono de luz de $O$. Se dice que el vector $OP$ es \textbf{tipo espacio}. Los eventos $O$ y $P$ no tienen conexión causal. Es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ son simultáneos. También es posible encontrar SRI's respecto a los cuales $P$ anteceda a $O$, y viceversa. En otras palabras, en este caso $O$ y $P$ no tienen un orden temporal absoluto. No es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ tienen la misma posición espacial. -\item Si $\Delta s^2=0$ entonces el evento $P$ está sobre del cono de luz de $O$. Se dice que el vector $OP$ es \textbf{tipo luz}. No es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ son simultáneos. Tampoco es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ tienen la misma posición espacial. Sólo se\~nales luminosas (o, en general, partículas o se\~nales que se muevan a la velocidad de la luz) pueden conectar $O$ y $P$. +\item Si $\Delta s^2=0$ entonces el evento $P$ está sobre del cono de luz de $O$. Se dice que el vector $OP$ es \textbf{tipo luz}. No es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ son simultáneos. Tampoco es posible encontrar un SRI respecto al cual $O$ y $P$ tienen la misma posición espacial. Sólo señales luminosas (o, en general, partículas o señales que se muevan a la velocidad de la luz) pueden conectar $O$ y $P$. \end{itemize} \begin{figure}[t] @@ -1618,7 +1616,7 @@ \subsection{Ejemplos} \begin{equation} \Delta \lambda=\frac{h}{m_{\rm e}c}\left(1-\cos\theta\right)=\frac{2h}{m_{\rm e}c}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right). \label{compton} \end{equation} - Desde el punto de vista de una teoría corpuscular de la luz, la reducción de frecuencia de la radiación emitida es natural debido a que parte de la energía del fotón inicial es transferida al electrón (recoil). Por otra parte, este resultado no puede ser entendido en el marco de la teoría ondulatoria clásica. Compton dedujo y confirmó experimentalmente (\ref{compton}) en 1922 \cite{Compton23}. El recoil del electrón fue medido un a\~no más tarde por Wilson, usando una cámara de niebla. + Desde el punto de vista de una teoría corpuscular de la luz, la reducción de frecuencia de la radiación emitida es natural debido a que parte de la energía del fotón inicial es transferida al electrón (recoil). Por otra parte, este resultado no puede ser entendido en el marco de la teoría ondulatoria clásica. Compton dedujo y confirmó experimentalmente (\ref{compton}) en 1922 \cite{Compton23}. El recoil del electrón fue medido un año más tarde por Wilson, usando una cámara de niebla. La longitud de Compton del electrón, ${h}/{m_{\rm e}c}\approx 2,426\times 10^{-12}\,m$. \item Imposibilidad de emisión de un fotón por un electrón libre. Ver figura (\ref{fig:no-emision}). diff --git a/electrodinamica-slides.pdf b/electrodinamica-slides.pdf index 98d020f..d01ce7c 100755 Binary files a/electrodinamica-slides.pdf and b/electrodinamica-slides.pdf differ diff --git a/electrodinamica.pdf b/electrodinamica.pdf index dacecdf..06fed44 100755 Binary files a/electrodinamica.pdf and b/electrodinamica.pdf differ