cap-Radiacion.tex

\chapter{Teoría Clásica de la Radiación Electromagnética}\label{caprad}

\section{Resolviendo las ecuaciones de Maxwell.}\label{resolvmax}

Las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas, escritas en términos de los potenciales electromagnéticos y en el gauge de Lorenz, se reducen a
%\begin{equation}
%\boxed{\Box A^\mu   =\frac{4\pi}{c}J^\mu ,}
%\end{equation}
%o, equivalentemente,
%\begin{equation}
%\Box \phi   =4\pi \rho, \qquad \Box \vec{A}=\frac{4\pi}{c}\vec{J}.
%\end{equation}
\begin{equation}
 \Box\phi=\frac{\rho}{\varepsilon}, \qquad  \Box\vec{A}=\mu\,\vec{J}.
\end{equation}
Estas son las ecuaciones que resolveremos: las ecuaciones de onda
inhomogéneas para fuentes dadas. Todas ellas son de la forma
\begin{equation}
\Box \Psi(\vec{x},t)=g(\vec{x},t), \label{oih}
\end{equation}
con una función ``fuente'' $g(\vec{x},t)$ dada.


\subsection{Ecuación de Helmholtz inhomogénea y función de Green independiente del tiempo}
\subsubsection{Transformada de Fourier}
Primero introduciremos la \textbf{transformada de Fourier temporal} de los campos involucrados (suponemos que estos campos son cuadrado-integrables),
\begin{equation}
\bar{\Psi}(\vec{x},\omega):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty
\Psi(\vec{x},t)e^{-i\omega t}\,dt,
\end{equation}
\begin{equation}
\bar{g}(\vec{x},\omega):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty
g(\vec{x},t)e^{-i\omega t}\,dt ,
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}
g(\vec{x},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty
\bar{g}(\vec{x},\omega)e^{+i\omega t}\,d\omega,
\end{equation}
\begin{equation}
\Psi(\vec{x},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty
\bar{\Psi}(\vec{x},\omega)e^{+i\omega t}\,d\omega.
\end{equation}

Usando estas transformaciones la ecuación (\ref{oih}) se reduce a la ecuación de
Helmholtz inhomogénea:
\begin{equation}
\left[ \nabla^2+k^2\right] \bar{\Psi}(\vec{x},\omega)=-\bar{g}(\vec{x},\omega),
\label{Hih}
\end{equation}
con $k:=\omega/c$. Resolveremos esta ecuación \textit{independiente del tiempo} por medio del método de la función de Green.

\subsubsection{Función de Green independiente del tiempo}
La función de Green asociada a nuestro problema es
\begin{equation}
\left[ \nabla^2+k^2\right] G(\vec{x},\vec{x}')=+\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}').
\label{ecGreen}
\end{equation}
Si logramos resolver (\ref{ecGreen}) y encontrar una solución $G(\vec{x},\vec{x}')$ entonces una solución particular de (\ref{Hih}) es de la forma
\begin{equation}
\bar{\Psi}(\vec{x},\omega)=-\int G(\vec{x},\vec{x}')\bar{g}(\vec{x}',\omega)\,dV'.
\end{equation}
La función de Green $G(\vec{x},\vec{x}')$ puede considerarse como un caso particular de solución de (\ref{Hih}) correspondiente a una función fuente $\bar{g}=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}')$. En términos más físicos, la función de Green $G(\vec{x},\vec{x}')$ es proporcional al campo producido por una \textbf{fuente puntual}. En efecto, si $g(\vec{x},t)=f(t)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}')$, entonces $\bar{g}(\vec{x},\omega)=\bar{f}(\omega)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}')$, donde $\bar{f}(\omega)$ es la transformada de Fourier de $f(t)$. De lo anterior, vemos que en este caso la solución de (\ref{Hih}) es de la forma $-\bar{f}(\omega)G(\vec{x},\vec{x}')$.

La función de Green que satisface (\ref{ecGreen}) \textit{no es única}, siempre es posible sumar una solución de la ecuación de Helmholtz homogénea. De entre las posibles soluciones, encontraremos aquella que satisfaga \textit{condiciones de simetría apropiadas a nuestro problema}. En particular, deseamos encontrar las soluciones particulares que describan los campos \textit{generados por una distribución de cargas y corrientes dada}, sin incluir los campos generados por \textit{fuentes externas al sistema} (y que satisfacen la ecuación homogénea en el dominio bajo consideración).

Ya que $G(\vec{x},\vec{x}')$ determina la dependencia espacial de la solución correspondiente a una carga puntual situada en $\vec{x}'$, esperamos que ésta sea esféricamente simétrica en torno a este punto (``isotropía del espacio''), y sólo dependiente de la diferencia entre $\vec{x}$ y $\vec{x}'$ (``homogeneidad del espacio''). Entonces, supondremos que $G$ depende de $\vec{x}$ y $\vec{x}'$ sólo a través de la combinación $|\vec{x}-\vec{x}'|$. Si
\begin{equation}
G(\vec{x},\vec{x}')\stackrel{!}{=}G(|\vec{x}-\vec{x}'|),
\end{equation}
 la ecuación (\ref{ecGreen}) se reduce a
\begin{equation}
\left[ \nabla^2+k^2\right] G(r)=\delta^{(3)}(\vec{r}), \qquad r:=|\vec{r}|.
\end{equation}
%ya que, sin perder generalidad, es posible elegir $\vec{x}'=\vec{0}$.
En coordenadas esféricas, tendremos entonces que
\begin{equation}
 \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{dG}{dr}\right) +k^2G(r)=\delta^{(3)}(\vec{r})
.\label{HelmG}
\end{equation}
Es directo resolver (\ref{HelmG}) para puntos $r\neq 0$. Obtenemos:
\begin{equation}
G(r)=\alpha\frac{e^{\pm ikr}}{r}, \label{G0}
\end{equation}
para $r\neq 0$. La constante $\alpha$ debe ser determinada de modo que
(\ref{G0}) sea válida para todo punto, incluyendo el punto $r=0$. Usando
$\vec{\nabla}r=-r^2\vec{\nabla}\left({1}/{r}\right) $, podemos escribir:
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla}G&=&\pm ik\alpha\frac{1}{r}\left( \vec{\nabla}r\right) e^{\pm
ikr}+\alpha e^{\pm ikr} \vec{\nabla}\left( \frac{1}{r}\right) \\
&=&\mp ik\alpha r\vec{\nabla}\left( \frac{1}{r}\right)  e^{\pm ikr}+\alpha
e^{\pm ikr} \vec{\nabla}\left( \frac{1}{r}\right) .
\end{eqnarray}
Similarmente,
\begin{eqnarray}
\nabla^2G&=&\vec{\nabla}\cdot \vec{\nabla}G \\
&=&\mp ik\alpha r\left( \vec{\nabla}r\right)\cdot\vec{\nabla}\left(
\frac{1}{r}\right)  e^{\pm ikr}\mp ik\alpha r \nabla^2\left( \frac{1}{r}\right)
e^{\pm ikr}+k^2\alpha r\left( \vec{\nabla}r\right)\cdot\vec{\nabla}\left(
\frac{1}{r}\right)  e^{\pm ikr}\nonumber\\
&&\pm ik\alpha e^{\pm ikr} \left( \vec{\nabla}r\right)\cdot\vec{\nabla}\left(
\frac{1}{r}\right) +\alpha e^{\pm ikr}\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right) \\
&=&\mp ik\alpha r \nabla^2\left( \frac{1}{r}\right)  e^{\pm ikr}+k^2\alpha
r\left( \vec{\nabla}r\right)\cdot\vec{\nabla}\left( \frac{1}{r}\right)  e^{\pm
ikr}+\alpha e^{\pm ikr}\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right) \\
&=&\mp ik\alpha r \nabla^2\left( \frac{1}{r}\right)  e^{\pm ikr}-k^2\alpha
\frac{1}{r} \left|\vec{\nabla}r\right|^2  e^{\pm ikr}+\alpha e^{\pm
ikr}\nabla^2\left( \frac{1}{r}\right).
\end{eqnarray}
Usando ahora $\nabla^2\left({1}/{r}\right) =-4\pi\delta^{(3)}(\vec{r})$,
$f(r)\delta^{(3)}(\vec{r})=f(0)\delta^{(3)}(\vec{r})$ para una función $f(r)$ arbitraria, y
$\vec{\nabla}r=\hat{r}$, de modo que $|\vec{\nabla}r|=1$,
encontramos
\begin{eqnarray}
\nabla^2G&=&\pm 4\pi ik\alpha r  e^{\pm ikr}\delta^{(3)}(\vec{r}) -k^2\alpha \frac{1}{r}
e^{\pm ikr}-4\pi\alpha e^{\pm ikr}\delta^{(3)}(\vec{r}) \\
&=&0-k^2\alpha \frac{e^{\pm ikr}}{r}   -4\pi\alpha \delta^{(3)}(\vec{r}) \\
&=&-k^2G(r) -4\pi\alpha \delta^{(3)}(\vec{r}) .\label{lapG}
\end{eqnarray}
Comparando (\ref{lapG}) con (\ref{HelmG}) obtenemos $\alpha=-{1}/{4\pi}$, de
modo que la función de Green para nuestro problema es
\begin{equation}
\boxed{G(\vec{x},\vec{x}')=-\frac{1}{4\pi}\frac{e^{\pm
ik|\vec{x}-\vec{x}'|}}{|\vec{x}-\vec{x}'|}, \qquad k:=\frac{\omega}{c}.} \label{GreenH}
\end{equation}


\subsection{Potenciales retardados}
Con la función de Green (\ref{GreenH}) obtenemos la solución particular para la
transformada de Fourier $\bar{\Psi}(\vec{x},\omega)$:
\begin{equation}
\bar{\Psi}(\vec{x},\omega)=\frac{1}{4\pi}\int
\bar{g}(\vec{x}',\omega)\frac{e^{\pm
ik|\vec{x}-\vec{x}'|}}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV' .
\end{equation}
Con esto, podemos finalmente calcular la solución particular de la ecuación de
onda inhomogénea (\ref{oih}):
\begin{eqnarray}
\Psi(\vec{x},t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{4\pi}\int_{V'}\int_{-\infty}
^\infty \bar{g}(\vec{x}',\omega)\frac{e^{\pm
ik|\vec{x}-\vec{x}'|}}{|\vec{x}-\vec{x}'|}e^{i\omega t}\,d\omega\,dV'  \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{4\pi}\int_{V'}\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\int_
{-\infty}^\infty \bar{g}(\vec{x}',\omega)e^{i\omega t_{\pm}}\,d\omega \,dV' \\
&=&\frac{1}{4\pi}\int_{V'} \frac{g(\vec{x}',t_{\pm})}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV' .
\end{eqnarray}
En la expresión anterior hemos denotado
\begin{equation}
t_{\pm}(\vec{x},\vec{x}',t):=t\pm \frac{|\vec{x}-\vec{x}'|}{c}.
\end{equation}
Los \textbf{potenciales retardados} corresponden a la solución con
\begin{equation}
\boxed{t_{\rm ret}(\vec{x},\vec{x}',t):=t-\frac{|\vec{x}-\vec{x}'|}{c},} \label{deftret}
\end{equation}
que es llamado el \textbf{tiempo retardado} (puesto que $t_{\rm ret}\le t$), de modo que
\begin{equation}
\boxed{\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_{V'}
\frac{\rho(\vec{x}',t_{\rm ret})}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV',} \qquad \boxed{\vec{A}_{\rm
ret}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\int_{V'}
\frac{\vec{J}(\vec{x}',t_{\rm ret})}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV' ,} \label{potret}
\end{equation}
suministran expresiones para los potenciales electromagnéticos en un punto
$\vec{x}$ y en un instante $t$ dado \textit{en términos de la distribución de cargas y corrientes en tiempos anteriores a} $t$ (``solución causal''). En otras palabras, los potenciales (\ref{potret}) permiten \textit{pre}decir los campos producidos por un sistema de cargas dado. La solución correspondiente al \textbf{tiempo avanzado} $t_{\rm av}:=t+{|\vec{x}-\vec{x}'|}/{c}\ge t$ no será usada puesto que conduce, en cada instante $t$, a campos determinados por la distribución de cargas en \textit{tiempos posteriores a }$t$ (``solución acausal'').

Las expresiones para los potenciales retardados son similares a aquellas válidas los casos electrostático y magnetostático, ver \eqref{perho} y \eqref{defA} respectivamente, salvo que las fuentes dentro de la integral están evaluadas en el tiempo retardado, que depende tanto del tiempo como de la posición\footnote{Esta propiedad no es en general válida si los potenciales satisfacen gauges distintos al de Lorenz.}. Esta solución muestra que los campos en un punto $\vec{x}$ y tiempo $t$ dado son una  \textit{superposición de términos proporcionales a las fuentes ubicadas en \textit{cada punto} $\vec{x}'$, pero en tiempos anteriores} $t_{\rm ret}$, de forma tal que el \textit{evento}\footnote{es decir, un punto determinado del espacio y del tiempo.} definido por $(ct_{\rm ret},\vec{x}')$ tiene una \textit{relación tipo luz} con el evento $(ct,\vec{x})$. Esto último significa, como se desprende de (\ref{deftret}), que
\begin{equation}\marginnote{relación tipo luz}
 c^2(t-t_{\rm ret})^2-|\vec{x}-\vec{x}'|^2=0.
\end{equation}
En otras palabras, los valores del campo en un evento dado están determinados por los valores de las fuentes en los puntos del \textbf{cono de luz pasado} asociado a tal evento. Ver figura \ref{fig:cdl2}.
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5.5cm]{fig/fig-cono-de-luz-01.pdf}}
\caption{Cono de luz}
\label{fig:cdl2}
\end{figure}

Otra consecuencia directa es que cualquier \textit{cambio} en la configuración de las fuentes en un punto afectará a los campos en otro punto sólo en tiempos posteriores, luego de un intervalo de tiempo igual al tiempo de vuelo de una señal luminosa que los conecte. En otras palabras: \textit{los cambios de los campos producidos por cambios de las fuentes se propagan con rapidez $c=1/\sqrt{\varepsilon\mu}$}. Equivalentemente, el valor de las fuentes en un determinado evento contribuye a los valores de los campos sólo en eventos situados sobre el \textit{cono de luz futuro} del evento fuente.

\section{Ecuaciones de Jefimenko}
A partir de las expresiones para los potenciales retardados en el gauge de Lorenz, es decir las ecuaciones \eqref{potret}, podemos calcular los campos eléctrico y magnético producidos por una distribución (arbitraria, pero compacta) de cargas y corrientes:
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \left[  \frac{\rho(\vec{x}',t_{\rm ret})(\vec{x}-\vec{x}')}{\vert \vec{x}-\vec{x}' \vert^3} + \frac{1}{c}\frac{ \dot\rho(\vec{x}',t_{\rm ret})(\vec{x}-\vec{x}')}{\vert\vec{x}-\vec{x}'\vert^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\dot{\vec{J}} (\vec{x}',t_{\rm ret})}{\vert\vec{x}-\vec{x}' \vert} \right] dV',
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{B}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi} \int_V\left[
\frac{\vec{J}(\vec{x}',t_{\rm ret})\times(\vec{x}-\vec{x}')}{\vert \vec{x}-\vec{x}'\vert^3}+ \frac{1}{c}\frac{ \dot{\vec{J}}(\vec{x}',t_{\rm ret})\times(\vec{x}-\vec{x}')}{\vert\vec{x}-\vec{x}' \vert^2} \right]dV', \label{b3}
\end{equation}
donde $\dot{f}(\vec{x},t)$ denota la derivada partial respecto a la variable temporal de la que depende la función $f(\vec{x},t)$, es decir $\dot{f}(\vec{x},t):=(\partial_t f)(\vec{x},t)$. Las relaciones anteriores son conocidas como \textbf{ecuaciones de Jefimenko}\footnote{\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Jefimenko}{Oleg Jefimenko} (1922-2009): físico estadounidense.}. Note que estas expresiones para los campos eléctrico y magnético difieren de aquellas que se encontrarían directamente la solución de las ecuaciones inhomogéneas \eqref{EcOihE} y \eqref{EcOihB}. ?`Puede explicar por qué ocurre esto?.


\section{Potenciales de Liénard-Wiechert}

Se conoce como \textbf{potenciales de Liénard}\footnote{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Alfred-Marie_Li\%C3\%A9nard}{Alfred Marie Liénard} (1869-1958): físico francés.}\textbf{-Wiechert}\footnote{\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Emil_Wiechert}{Johann Emil Wiechert} (1861-1928): (geo)físico alemán.} a los potenciales retardados generados por una \textit{carga puntual} $q$ \textit{que se mueve en forma conocida, pero arbitraria, con trayectoria} $\vec{z}(t)$. Ver figura (\ref{fig:LW}).
\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=5.5cm]{fig/fig-cono-de-luz-02.pdf}}
\caption{Trayectoria de una carga puntual y cono de luz asociado al evento $(ct,\vec{x})$.}
\label{fig:LW}
\end{figure}
En este caso, la densidad de carga y de corriente están dadas por
\begin{equation}
\rho(\vec{x},t)=q\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{z}(t)), \qquad
\vec{J}(\vec{x},t)=q\vec{v}(t)\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{z}(t)),
\end{equation}
donde $\vec{v}(t)={d\vec{z}}/{dt}$. Por lo tanto, los potenciales retardados (\ref{potret}) se reducen a
\begin{equation}
\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\int_{V'}
\frac{\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t_{\rm ret}))}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV', \qquad
\vec{A}_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{q\mu}{4\pi}\int_{V'}
\frac{\vec{v}(t_{\rm ret})\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t_{\rm ret}))}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV'  \label{potretq1}
\end{equation}
o, más explícitamente,
\begin{equation}
\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\int_{V'}
\frac{\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c))}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV', \end{equation}
\begin{equation}
\vec{A}_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{q\mu}{4\pi}\int_{V'}
\frac{\vec{v}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c)\,\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c))}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\,dV' . \label{potretq2}
\end{equation}
Ambas expresiones son de la forma
\begin{equation}
I(\vec{x},t)=\int_{V'}
f(\vec{x},\vec{x}',t)\,\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c))\,d^3x' . \label{potretqg1}
\end{equation}

Para calcular este tipo de integrales, expresaremos la delta de Dirac 3-dimensional como una integral sobre la variable (temporal) auxiliar $T$:
\begin{equation}
 \delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c))=\int_{-\infty}^\infty \delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(T))\,\delta(T-t+|\vec{x}-\vec{x}'|/c)\, dT.
\end{equation}
Con esto,
\begin{equation}
I(\vec{x},t)=\int_{T}\int_{V'}
f(\vec{x},\vec{x}',t)\,\delta^{(3)}(\vec{x}'-\vec{z}(T))\,\delta(T-t+|\vec{x}-\vec{x}'|/c)\,d^3x' \, dT. \label{potretqgm11}
\end{equation}
Expresada de esta forma, es sencillo realizar la integral espacial, puesto que la delta de Dirac 3-dimensional evaluará la coordenada $\vec{x}'$ en el punto $\vec{z}(T)$, es decir, en un punto sobre la trayectoria de la carga. Así, obtenemos
\begin{equation}
I(\vec{x},t)=\int_{-\infty}^\infty f(\vec{x},\vec{z}(T),t)\,\delta(T-t+|\vec{x}-\vec{z}(T)|/c)\, dT. \label{potretqgm12}
\end{equation}
El argumento de la delta de Dirac es una función no trivial $g$ de la variable auxiliar $T$. Denotamos
\begin{equation}
 g(T):=T-t+\frac{1}{c}|\vec{x}-\vec{z}(T)|,
\end{equation}
de modo que
\begin{eqnarray}
I(\vec{x},t)&=&\int_{-\infty}^\infty f(\vec{x},\vec{z}(T),t)\,\delta(g(T))\, dT \\
&=&\int_{-\infty}^\infty f(\vec{x},\vec{z}(T),t)\frac{\delta(T-t')}{|g'(t')|}\, dT \\
&=&\frac{f(\vec{x},\vec{z}(t'),t)}{|g'(t')|}, \label{Ir}
\end{eqnarray}
donde $g'$ es la función derivada de $g$ y $t'$ es la solución de la ecuación $g(t')=0$, es decir, de
\begin{equation}
 t'=t-\frac{1}{c}|\vec{x}-\vec{z}(t')|. \label{t'}
\end{equation}
Esta relación define una ecuación algebraica para $t'$ cuya solución define, \textit{conocida la trayectoria de la carga}, un tiempo retardado $t'=t'(\vec{x},t)$. Además, usando la regla de la cadena, encontramos
\begin{equation}
 g'(t')=1-\frac{1}{c}\frac{\vec{v}(t')\cdot\left(\vec{x}-\vec{z}(t')\right)}{\left|\vec{x}-\vec{z}(t')\right|}=1-\vec{\beta}(t')\cdot\hat{n}(t')>0 \label{gp},
\end{equation}
para $|\vec\beta|<1$, con $\vec\beta:=\vec{v}/c$. Por ahora, supondremos que siempre la velocidad de la partícula es menor que la velocidad de la luz en el medio. Entonces, reemplazando (\ref{gp}) en (\ref{Ir}), se encuentra que
\begin{equation}
 I(\vec{x},t)=\frac{f(\vec{x},\vec{z}(t'),t)}{1-\vec{\beta}(t')\cdot\hat{n}(t')}. \label{Ir2}
\end{equation}
Para el caso del potencial, encontramos así que
\begin{equation}
\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{\left|\vec{x}-\vec{z}(t')\right|}\frac{1}{\left( 1-\vec\beta(t')\cdot\hat{n}(t')\right) }.
 \end{equation}
Análogamente, en el caso del potencial vectorial, obtenemos
\begin{equation}
\vec{A}_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{\mu c}{4\pi}\frac{q}{\left|\vec{x}-\vec{z}(t')\right|}
\frac{\vec{\beta}(t')}{\left( 1-\vec\beta(t')\cdot\hat{n}(t')\right) }.
 \end{equation}
 
Debe recordarse que en estas expresiones $t'$ es una función de $\vec{x}$ y $t$, determinada por la solución de (\ref{t'}) para una trayectoria dada. La condición (\ref{t'}) implica que el evento donde se quiere determinar el campo, con coordenadas $(ct,\vec{x})$, y el evento sobre la trayectoria de la carga en el tiempo $t'$, con coordenadas $(ct',\vec{z}(t'))$, tienen una \textit{relación tipo luz}, ya que
\begin{equation}
 c^2(t-t')^2-|\vec{x}-\vec{z}(t')|^2=0.
\end{equation}

En otras palabras, el evento con coordenadas $(ct',\vec{z}(t'))$ es la \textit{intersección entre el cono de luz pasado asociado a $(ct,\vec{x})$ y la línea de mundo de la carga}. Ver figura \ref{fig:LW}. Los potenciales en un evento $(ct,\vec{x})$ dado dependen entonces sólo de las propiedades de la carga (posición y velocidad) en el evento $(ct',\vec{z}(t'))$.

Usualmente, se simplifica la notación definiendo
\begin{equation}
 \vec{R}:=\vec{x}-\vec{z}(t'), \qquad R:=\left|\vec{x}-\vec{z}(t')\right|, \qquad \hat{n}:=\frac{\vec{R}}{R}, \label{defR}
\end{equation}
y denotando la evaluación de todas las funciones dependientes del tiempo en $t'$ por $f(t'):=\left.f\right|_{\rm ret}$, de modo que
\begin{equation}
\boxed{\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left. \frac{q}{ R\left(
1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right) }\right|_{\rm ret}, } \qquad
\boxed{\vec{A}_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{\mu c}{4\pi}\left. \frac{q\vec{\beta}}{ R\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right) }\right|_{\rm ret}.} \label{potretq}
\end{equation}

Note que en este caso los potenciales retardados están relacionados por
\begin{equation}
\vec{A}_{\rm ret}(\vec{x},t)=\frac{1}{c}\phi_{\rm ret}(\vec{x},t)\left.\vec{\beta}\right|_{\rm ret}.
\end{equation}


\subsection{Derivación alternativa*}
Podemos integrar (\ref{potretqg1}) cambiando de variable de integración de $\vec{x}'$ a la nueva variable $\vec{y}$, definida por (recuérdese que, para efectos de la integración, $t$ es un parámetro y $\vec{z}$ una función conocida)
\begin{equation}
 \vec{y}(\vec{x'}):=\vec{x}'-\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c). \label{txy}
\end{equation}
En términos de $\vec{y}$ la integral (\ref{potretqg1}) adopta la forma
\begin{equation}
I(\vec{x},t)=\int f(\vec{x},\vec{x}'(\vec{y}),t)\delta^{(3)}(\vec{y})
\left|\frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{y}}\right|\,d^3y, \label{potretqg2}
\end{equation}
donde $\left|\frac{\partial \vec{x}'}{\partial \vec{y}}\right|=\left|\frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}'}\right|^{-1}$ es el jacobiano de la transformación. A partir de (\ref{txy}) encontramos que
\begin{eqnarray}
\frac{\partial y^i}{\partial x'^j}&=&\delta^i_j-\dot{z}^i(t_{\rm ret})\frac{\partial t_{\rm ret}}{\partial x'^j} \\
&=&\delta^i_j+\frac{1}{c}v^i(t_{\rm ret})\partial'_j|\vec{x}-\vec{x}'|\\
&=&\delta^i_j-\beta^i(t_{\rm ret})\frac{(x^j-x'^j)}{|\vec{x}-\vec{x}'|}\\
&=&\delta^i_j-\beta^i(t_{\rm ret})\hat{n}^j.
\end{eqnarray}
% donde hemos introducido el vector de velocidad adimensionalizado $\vec{\beta}$ y definido el vector unitario $\vec{n}(\vec{x},\vec{x}'):=\frac{(\vec{x}-\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}$.
Un cálculo directo muestra que
\begin{equation}
 \left|\frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}'}\right|=1-\vec\beta\cdot\hat{n}.
\end{equation}
Con este resultado, podemos reescribir la integral (\ref{potretqg2}) como
\begin{eqnarray}
I(\vec{x},t)&=&\int f(\vec{x},\vec{x}'(\vec{y}),t)\delta^{(3)}(\vec{y})
\left|\frac{\partial \vec{x}}{\partial \vec{y}}\right|\,d^3y \\
&=&\int \delta^{(3)}(\vec{y})
\frac{f(\vec{x},\vec{x}'(\vec{y}),t)}{1-\vec\beta\cdot\hat{n} }\,d^3y . \label{potretqg3}
\end{eqnarray}
La delta de Dirac impone la evaluación del integrando en el punto correspondiente a $\vec{y}=\vec{0}$. De (\ref{txy}) vemos que esto corresponde a evaluar $\vec{x}'$ en el punto del espacio que satisface
\begin{equation}
 \vec{x}'=\vec{z}(t-|\vec{x}-\vec{x}'|/c),
\end{equation}
para un punto evento $(ct,\vec{x})$ dado. Equivalentemente, en términos del tiempo retardado, $\vec{x}'$ debe ser evaluado en aquel punto sobre la trayectoria de la carga por donde ésta pasó en el tiempo retardado $t'$, que satisface
\begin{equation}
 t'=t-\frac{1}{c}|\vec{x}-\vec{z}(t')|.
\end{equation}
% La solución de esta condición, dada la trayectoria $\vec{z}$, define $t'=t'(\vec{x},t)$.
% Con todo esto, la integral puede escribirse como
% \begin{equation}
%  I(\vec{x},t)=\frac{f(\vec{x},\vec{z}(t'),t)}{\left(
%1-\vec\beta(t')\cdot\hat{n}(\vec{x},\vec{z}(t')\right) }. \label{potretqg3}
% \end{equation}
Con esto, obtenemos
\begin{equation}
 I(\vec{x},t)=\left.\frac{f(\vec{x},\vec{x}'(\vec{y}),t)}{ 1-\vec\beta\cdot\hat{n} } \right|_{\vec{y}=\vec{0}},
\end{equation}
que es equivalente (\ref{Ir2}).

\subsection{Ejemplo: carga en movimiento con velocidad constante}
Consideremos el caso en que la trayectoria de la partícula es $\vec{z}(t)=\vec{v}t$, con $\vec{v}=v\hat{x}$.

La condición (\ref{t'}), que es equivalente a
\begin{equation}
c(t-t')=\left|\vec{x}-\vec{z}(t')\right|=\sqrt{(x-vt')^2+y^2+z^2},
\end{equation}
tiene como solución retardada, $t'<t$, a
\begin{equation}
t'=\gamma^2\left( t-\frac{vx}{c^2}-\frac{1}{c}\sqrt{(x-vt)^2+
(y^2+z^2)\gamma^{-2}}\right) , \qquad \gamma:=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\end{equation}
Evaluamos la expresión en el denominador de las expresiones en \eqref{potretq}. Luego de algo de álgebra, obtenemos
\begin{equation}
\left[ R\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)\right]_{\rm ret}=\sqrt{(x-vt)^2+  \gamma^{-2}(y^2+z^2)}.
\end{equation}
Con esto, los potenciales adoptan la siguiente forma explícita:
\begin{eqnarray}
\phi(\vec{x},t)&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{\sqrt{(x-vt)^2+ \gamma^{-2}(y^2+z^2)}} ,\\
\vec{A}(\vec{x},t)&=&\frac{\mu c}{4\pi} \frac{q\beta\hat{x}}{\sqrt{(x-vt)^2+
\gamma^{-2}(y^2+z^2)}}.
\end{eqnarray}
Derivando, encontramos las expresiones explícitas para los campos eléctrico y magnético:
\begin{eqnarray}
B_x(\vec{x},t)&=&0, \\
B_y(\vec{x},t)&=&-\frac{q\mu}{4\pi}\frac{v\gamma^{-2}z}{\left[ (x-vt)^2+
\gamma^{-2}(y^2+z^2)\right]^{3/2}}, \\
B_z(\vec{x},t)&=&+\frac{q\mu}{4\pi}\frac{v\gamma^{-2}y}{\left[(x-vt)^2+
\gamma^{-2}(y^2+z^2)\right]^{3/2}}.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
E_x(\vec{x},t)&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{\gamma^{-2}\left( x-vt\right) }{\left[ (x-vt)^2+
(y^2+z^2)\gamma^{-2}\right] ^{3/2}}, \\
E_y(\vec{x},t)&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{\gamma^{-2}y}{\left[ (x-vt)^2+
(y^2+z^2)\gamma^{-2}\right] ^{3/2}},\\
E_z(\vec{x},t)&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{\gamma^{-2}z }{\left[ (x-vt)^2+
(y^2+z^2)\gamma^{-2}\right]
^{3/2}},
\end{eqnarray}
o, en forma un poco más compacta,
\begin{equation}\label{EBqvconst}
\vec{E}(\vec{x},t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{\gamma^{-2}\left(\vec{x}-\vec{v}t\right)}{\left[(x-vt)^2+ (y^2+z^2)\gamma^{-2}\right] ^{3/2}},  \qquad
\vec{B}(\vec{x},t)=\frac{q\mu}{4\pi}\frac{\gamma^{-2}(\vec{v}\times\vec{x})}{\left[(x-vt)^2+\gamma^{-2}(y^2+z^2)\right]^{3/2}}.
\end{equation}
En la sección \ref{secEjEBvc} recobraremos este resultado usando transformaciones de Lorentz. Animaciones de estos campos pueden ser encontrados \href{http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/electrostatics/ElectricFieldConfigurations/MovingChargePosElec/movingChargePosElec.htm}{aquí} para el campo eléctrico y \href{http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/magnetostatics/MagneticFieldConfigurations/MovingChargePosMag/MovingChargePosMag.htm}{aquí} para el campo magnético \cite{MIT}.


\section{Campo electromagnético generado por cargas con movimiento acelerado}
\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-vectores.pdf}}
\label{R7}
\end{figure}
Sabemos que los campos eléctrico y magnético están dados en términos de derivadas de los potenciales de acuerdo a las expresiones \eqref{defA2} y \eqref{defphi2}. Para evaluar las derivadas involucradas es necesario tener en cuenta que los potenciales retardados dependen de la posición $\vec{x}$ y el tiempo $t$ explícitamente a través de $\vec{R}=\vec{x}-\vec{z}(t')$ y $\vec{n}$, \textit{pero además implícitamente a través del tiempo retardado} $t'=t'(\vec{x},t)$, que es solución de \eqref{t'}.

Tomando en cuenta esta doble dependencia, calculamos:
\begin{eqnarray}
 \partial_i\phi&=&\frac{q}{4\pi\varepsilon}\partial_i\left[\frac{1}{R-\vec{\beta}\cdot\vec{R}}\right] \\
&=&-\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\partial_iR-\frac{1}{c}a_j(t')R_j\partial_i t'-\beta_j\partial_iR_j\right].
\end{eqnarray}
Derivando $R^2=R_jR_j$ encontramos que
\begin{equation}
\partial_i R=\hat{n}_j\partial_i R_j. \label{diR}
\end{equation}
Por otro lado, la definición (\ref{defR}a) implica que
\begin{equation}
 \partial_i R_j=\partial_i( x_j-z_j(t'))=\delta_{ij}-c\beta_j\partial_i t' . \label{diRj}
\end{equation}
Además, la condición (\ref{t'}) permite escribir las derivadas de $t'$ en términos de las derivadas de $R$:
\begin{equation}
 \partial_i t'=\partial_i(t-\frac{1}{c}R)=-\frac{1}{c}\partial_iR. \label{dit'}
\end{equation}
Reemplazando (\ref{diR}) en (\ref{dit'})  y luego usando (\ref{diRj}) obtenemos
\begin{equation}
 \partial_i t'=-\frac{1}{c}\hat{n}_i+(\vec{\beta}\cdot\hat{n})\partial_it', \label{dit'2}
\end{equation}
que nos permite encontrar una expresión para $\partial_it'$ en términos de $\hat{n}$ y $\vec{\beta}$:
\begin{equation}
 \boxed{\partial_i t'=-\frac{1}{c}\frac{\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}.}
\end{equation}
Reemplazando este resultado en (\ref{diRj}) y en (\ref{diR}) obtenemos expresiones similares para las otras derivadas que necesitamos:
\begin{equation}
 \boxed{\partial_i R_j=\delta_{ij}+\frac{\beta_j\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}},}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\partial_i R=\frac{\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}.}
\end{equation}
Con esta información, podemos expresar el gradiente del potencial escalar como
\begin{equation}
 \partial_i\phi=-\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2} \left[\frac{\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}+\frac{1}{c^2}\frac{(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}} -\beta_i-\frac{\beta^2\hat{n}_i}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}\right],
\end{equation}
o, en notación vectorial,
\begin{equation}
 \vec\nabla\phi=-\frac{q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{\hat{n}}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}+\frac{1}{c^2}\frac{(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}-\vec\beta\right].
\end{equation}
Similarmente, calculamos la derivada temporal del potencial vectorial:
\begin{eqnarray}
 \partial_t A_i&=&\frac{q\mu c}{4\pi}\partial_t\left[\frac{\beta_i}{R-\vec{\beta}\cdot\vec{R}}\right] \\
&=&\frac{q\mu c}{4\pi}\left[\frac{1}{c}\frac{a_i\partial_tt'}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})}-\frac{\beta_i}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left(\partial_tR-\frac{1}{c}a_j(t')R_j\partial_t t'-\beta_j\partial_tR_j\right)\right] \\
&=&\frac{\mu c}{4\pi}\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{1}{c}a_i(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})\partial_tt'-\beta_i\partial_tR+\frac{1}{c}\beta_ia_jR_j\partial_t t'+\beta_i\beta_j\partial_tR_j\right] . \label{dtA}
\end{eqnarray}
Las derivadas del lado derecho de la expresión anterior pueden calcularse usando el mismo método antes usado: Derivando $R^2=R_jR_j$, (\ref{defR}a) y (\ref{t'}) encontramos, respectivamente, que
\begin{equation}
\partial_t R=\hat{n}\cdot\partial_t \vec{R}, \label{dtR}
\end{equation}
\begin{equation}
 \partial_t \vec{R}=\partial_t( \vec{x}-\vec{z}(t'))=-c\vec{\beta}\,\partial_t t', \label{dtRj}
\end{equation}
\begin{equation}
 \partial_t t'=\partial_t(t-\frac{1}{c}R)=1-\frac{1}{c}\partial_tR. \label{dtt'}
\end{equation}
Sustituyendo (\ref{dtR}) en (\ref{dtt'})  y luego usando (\ref{dtRj}) llegamos a
\begin{equation}
 \partial_t t'=1+(\vec{\beta}\cdot\hat{n})\partial_tt',
\end{equation}
de donde podemos despejar $\partial_t t'$, obteniendo
\begin{equation}
 \boxed{\partial_t t'=\frac{1}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}.} \label{dtt'2}
\end{equation}
Con esto, (\ref{dtRj}) y (\ref{dtR}) determinan las derivadas faltantes:
\begin{equation}
 \boxed{\partial_t \vec{R}=-\frac{c\vec\beta}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}},}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\partial_t R=-\frac{c(\vec\beta\cdot\hat{n})}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}.}
\end{equation}
Sustitución en (\ref{dtA}) conduce entonces a
\begin{eqnarray}
 \partial_t \vec{A}
&=&\frac{\mu c}{4\pi}\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{1}{c}\vec{a}R+\frac{1}{c}
\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}+\frac{c\vec\beta}{1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}}(\vec{\beta}\cdot\hat{n}-\beta^2)\right] \\
&=&\frac{\mu c}{4\pi}\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{1}{c}\vec{a}R+\frac{1}{c}
\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}-c\vec\beta+\frac{c\vec\beta}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}\right] \\
&=&\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{1}{c^2}\vec{a}R+\frac{1}{c^2}\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}-\vec\beta+\frac{\vec\beta}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}\right] .
\end{eqnarray}
Tenemos ahora los ingredientes necesarios para calcular el campo eléctrico:
\begin{eqnarray}
4\pi\varepsilon\vec{E}&=&\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{\hat{n}}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}+\frac{1}{c^2}\frac{(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}-\vec\beta-\frac{1}{c^2}\vec{a}R-\frac{1}{c^2}\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}+\vec\beta-\frac{\vec\beta}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}\right] \nonumber \\
&=&\frac{q}{(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{\hat{n}-\vec\beta}{\gamma^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}+\frac{1}{c^2}\frac{(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}-\frac{1}{c^2}\vec{a}R-\frac{1}{c^2}\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}\right] \\
&=&\frac{q(\hat{n}-\vec\beta)}{\gamma^2R^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})^3}+\frac{q}{c^2(R-\vec{\beta}\cdot\vec{R})^2}\left[\frac{(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}-\vec{a}R-\frac{\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})}{(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})}\right] \\
&=&\frac{q(\hat{n}-\vec\beta)}{\gamma^2R^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})^3}+\frac{q}{c^2R^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})^3}\left[(\vec{a}\cdot\vec{R})\hat{n}-\vec{a}R+\vec{a}\vec{\beta}\cdot\vec{R}-\vec{\beta}(\vec{a}\cdot\vec{R})\right] \\
&=&\frac{q(\hat{n}-\vec\beta)}{\gamma^2R^2(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})^3}+\frac{q}{c^2R(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})^3}\left[(\vec{a}\cdot\hat{n})(\hat{n}-\vec{\beta})-\vec{a}+\vec{a}\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right] .
\end{eqnarray}
Usando la identidad
\begin{equation}
(\vec{a}\cdot\hat{n})(\hat{n}-\vec{\beta})-\vec{a}+\vec{a}\vec{\beta}\cdot\hat{n}\equiv (\vec{a}\cdot\hat{n})(\hat{n}-\vec{\beta})-\vec{a} (1-\hat{n}\cdot\vec\beta)\equiv \hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right],
\end{equation}
encontramos finalmente que\textit{ el campo eléctrico generado por una carga $q$ en movimiento arbitrario} es de la forma
\begin{equation}\marginnote{campo $\vec{E}$ carga $q$}
\boxed{\vec{E}(\vec{x},t)=\vec{E}_{(1)}+\vec{E}_{(2)}=\frac{q}{4\pi\varepsilon}\left.\frac{\left(
\hat{n}-\vec{\beta}\right)
}{\gamma^2R^2\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^3}\right|_{\rm ret}+
\frac{q\mu}{4\pi}\left.\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{R\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)
^3}\right|_{\rm ret} .} \label{Egen}
\end{equation}
El campo magnético puede calcularse de forma similar, encontrándose que \textit{puede expresarse completamente en términos del campo eléctrico}:
\begin{equation}\marginnote{campo $\vec{B}$ carga $q$}
\boxed{\vec{B}(\vec{x},t)=\frac{1}{c}\left. \hat{n}\right|_{\rm
ret}\times\vec{E}(\vec{x},t) .}
\end{equation}
Este resultado muestra, por lo tanto, que \textit{el campo magnético producido por una carga puntual es, en cada punto del espacio, perpendicular al campo eléctrico y al vector que une la posición \underline{retardada} de la carga con el punto de observación}.

Note que para distancias $r$ muy grandes (comparadas con las dimensiones de la
región donde se encuentran las fuentes, que consideramos una región compacta) $R\approx r$ y entonces
$\vec{E}_{(1)}\propto r^{-2}$ mientras que $\vec{E}_{(2)}\propto
r^{-1}$.


\section{Potencia Radiada}

Consideramos un sistema de cargas y corrientes confinado a una región compacta del espacio (por ejemplo, la carga puntual analizada en la sección anterior). El campo electromagnético que este sistema produce tiene asociado un vector de flujo de energía, el vector de Poynting. La potencia (es decir, la energía por unidad de tiempo) total transferida por el campo electromagnético generado por las cargas y corrientes, a través de una superficie que encierra completamente al sistema, y elegida por conveniencia como una esfera de radio $r$, es dada por
\begin{equation}
P(r,t)=\oint_S \vec{S}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\mu}\oint_S \left[ \left(
\vec{E}\times\vec{B}\right) \cdot \hat{r}\right] \,r^2d\Omega.
\end{equation}

Llamamos \textbf{potencia radiada} a la energía que es transportada \textit{muy lejos} de las fuentes, es decir $r\gg L$ donde $L$ es el tamaño (lineal) característico del sistema, y que \textit{aproximamos} por el límite en que $r\rightarrow\infty$. En este límite, ubicando el centro de la esfera en un punto representativo de la distribución de cargas y corrientes, podemos aproximar $\hat{n}\approx\hat{r}$ y $R\approx r$ de modo que,
\begin{equation}
P_{\rm rad} (t)=\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{1}{\mu}\oint_S \left[ \left(
\vec{E}\times\vec{B}\right) \cdot \hat{n}\right] \,r^2 d\Omega.
\end{equation}

Tomando en cuenta la dependencia de $\vec{E}_{(1)}$ y $\vec{E}_{(2)}$ con $r$
podemos ver que sólo los términos provenientes de $\vec{E}_{(2)}$
contribuirán a $P_{\rm rad}(t)$ en el límite $r\rightarrow\infty$, es decir,
\begin{equation}\label{Pinf1}
P_{\rm rad}(t)=\lim_{r\rightarrow\infty}\oint_S \vec{S}_{(2)}\cdot
d\vec{S}=\frac{1}{\mu}\lim_{r\rightarrow\infty}\oint_S \left[ \left(
\vec{E}_{(2)}\times\vec{B}_{(2)}\right) \cdot \hat{n}\right] \,r^2 d\Omega.
\end{equation}
En otras palabras, el sistema radía energía (``al infinito'') \textit{sólo si la
carga acelera}. Por esto, $\vec{E}_{(2)}$ recibe el nombre de \textbf{campo de
radiación} o \textbf{campo lejano}, mientras que $\vec{E}_{(1)}$ es llamado
\textbf{campo cercano}.

Calculamos ahora la parte del vector de Poynting que contribuirá a la energía
radiada fuera del sistema (al infinito):
\begin{equation}
 \vec{S}_{(2)}:=\frac{1}{\mu}\, \vec{E}_{(2)}\times\vec{B}_{(2)},
\end{equation}
con
\begin{equation}
\vec{B}_{(2)}= \frac{1}{c}\hat{n}\times\vec{E}_{(2)}.
\end{equation}
Con estos ingredientes encontramos que
\begin{eqnarray}
 \vec{S}_{(2)}&=&\frac{1}{\mu c}\, \vec{E}_{(2)}\times\left(
\hat{n}\times\vec{E}_{(2)}\right) \\
 &=& \frac{1}{\mu c}\left[ \left|\vec{E}_{(2)}\right|^2 \hat{n}-\left(
\vec{E}_{(2)}\cdot\hat{n}\right)  \vec{E}_{(2)}\right].
\end{eqnarray}
Sin embargo, de (\ref{Egen}) vemos que $\vec{E}_{(2)}$ es normal a $\hat{n}$ de
modo que lo anterior se reduce a
\begin{equation}\label{S2E}
 \boxed{\vec{S}_{(2)}= \frac{1}{\mu c} \left|\vec{E}_{(2)}\right|^2 \hat{n},}
\end{equation}
y por lo tanto
\begin{equation}
P_{\rm rad} (t)=\lim_{r\rightarrow\infty}\oint \vec{S}_{(2)}\cdot\hat{n}\,r^2 d\Omega = \lim_{r\rightarrow\infty}\frac{1}{\mu c}\oint \left|\vec{E}_{(2)}\right|^2\,r^2 d\Omega,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
 \boxed{P_{\rm rad} (t)=\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\lim_{r\rightarrow\infty}\oint_\Omega
\left|\left.\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)
^3}\right|_{\rm ret}\right|^2 d\Omega.}
\end{equation}

Definimos la potencia radiada \textit{por unidad de ángulo sólido}
por
\begin{equation}
 \boxed{\frac{dP_{\rm rad}}{d\Omega}(\hat{n},t):=\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\lim_{r\rightarrow\infty} \left|\left.
\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)
^3}\right|_{\rm ret}\right|^2 ,} \label{dPdO}
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
 \boxed{P_{\rm rad}(t)=\oint_\Omega \frac{dP_{\rm rad}}{d\Omega}\,d\Omega.}
\end{equation}


\section{Fórmula de Larmor (no-relativista)}\label{sec:Larmor-norel}

Si $v\ll c$, es decir $\beta\ll1$, entonces el campo eléctrico
(\ref{Egen}) y la distribución de potencia radiada (\ref{dPdO}) pueden
aproximarse por:
\begin{equation}
\vec{E}(\vec{x},t)=\frac{q}{4\pi\epsilon}\left.\frac{\hat{n}}{R^2}\right|_{\rm ret}+\left.
\frac{q\mu}{4\pi}\frac{\hat{n}\times(\hat{n}\times{\vec{a}})}{R}\right|_{\rm
ret} +O(\beta),
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{dP}{d\Omega}(\hat{n},t)=\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\lim_{r\rightarrow\infty}
\left|\hat{n}\times\left[
\hat{n}\times{\vec{a}}\right]\right|^2_{\rm ret}  +O(\beta).
\end{equation}
Aquí $|_{\rm ret}$ denota evaluación de las cantidades en el tiempo retardado, que muy lejos de la fuente adopta la forma $t'=t-r/c$. Además hemos eliminado ``rad"\, de la notación para la potencia.
Introduciendo el ángulo $\theta$ entre la aceleración $\vec{a}$ y el vector
normal $\hat{n}$, podemos escribir
$\left|\hat{n}\times\left[\hat{n}\times{\vec{a}}\right]\right|^2=\vec{a}^2\sin^2\theta$ y entonces
\begin{equation}
\frac{dP}{d\Omega}(\hat{n},t)=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\left[ \vec{a}^2\sin^2\theta\right]_{\rm
ret} .\label{Lardif}
\end{equation}
 Note que la dependencia $\sin^2\theta$ de ${dP}/{d\Omega}$ implica que \textit{la energía radiada se dirige mayoritariamente en la dirección normal a la aceleración}. Además, como $\vec{E}_{(2)}\propto \hat{n}\times(\hat{n}\times{\vec{a}})$ entonces el campo eléctrico de radiación  es normal a $\hat{n}$ y está contenido en el plano definido por $\vec{a}$ y $\hat{n}$. Ver figura \ref{fig:natheta}. Decimos entonces que el campo de radiación está
\textit{polarizado} en el plano definido por $\vec{a}$ y $\hat{n}$ y es normal a $\hat{n}$. Si $\vec{a}$ es constante, la radiación emitida en una dirección $\hat{n}$ dada tiene polarización 100\% lineal.
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-a-n-Erad.pdf}}
\caption{Direcciones de la aceleración $\vec{a}$, vector unitario $\hat{n}$ y campo eléctrico $\vec{E}_{(2)}$.}
\label{fig:natheta}
\end{figure}
En un \textit{gráfico de distribución de potencia} (donde se usan coordenadas polares en las que el radio es identificado con ${dP}/{d\Omega}$, que es función del ángulo $\theta$) encontramos una distribución como muestra la figura \ref{lobulo01}. Vemos entonces que en el límite no-relativista la mayor cantidad de la energía es radiada en dirección normal a la aceleración de la carga.

\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-Larmor.pdf}\hfill
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-Larmor-02.pdf}}
\caption{Distribución de potencia para una carga no-relativista en movimiento
acelerado. Códigos Python \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-Larmor-3D.py}{aquí} y \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-Larmor.py}{aquí}.}
\label{lobulo01}
\end{figure}
La \textit{potencia total emitida} por la carga es entonces
\begin{eqnarray}
P(t)  & =&\oint_{\Omega}\frac{dP}{d\Omega}(t)\,d\Omega\\
& =&\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\int_{\Omega} [\vec{a}^2\sin^2\theta]_{\rm ret}\,d\Omega\\
& =&\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\vec{a}^2_{\rm ret}
\sin^2\theta\sin\theta\,d\theta d\varphi \\
& =&\frac{q^2\mu}{16\pi^2c}\,\vec{a}^2_{\rm ret}\, \frac{4}{3}\,2\pi \\
& =&\frac{q^2\mu}{6\pi c}\,\vec{a}^2_{\rm ret}.
\end{eqnarray}
Este resultado es conocido como \emph{fórmula de Larmor}\footnote{Joseph Larmor (1857-1942): físico y matemático irlandés. Ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Larmor}.} (derivada en 1897, ver \cite{Larmor}).
%\begin{equation}
%\boxed{P=\frac{2q^2}{3c^3}\,\vec{a}^2.}\label{R-larmor}
%\end{equation}
\begin{equation}\marginnote{fórmula de Larmor}
\boxed{P(t)=\frac{q^2\mu}{6\pi c}\,\vec{a}^2_{\rm ret}.}\label{R-larmor}
\end{equation}

Este importante resultado implica, en particular, que cargas de igual magnitud, pero masas distintas sometidas a la acción de una misma fuerza (o fuerzas de igual magnitud) radían con potencias distintas si sus masas son distintas. Por ejemplo, \textit{en un sistema formado por protones y electrones, acelerados bajo la acción de un mismo campo eléctrico externo, serán los electrones quienes más energía radiarán} puesto que, si bien sus cargas son iguales en módulo, la masa de los electrones es mucho menor que la de los protones ($m_{\rm p}\approx 1836\,m_{\rm e}$, ver apéndice \ref{app:constantes}. Por lo tanto, $P_{\rm e}\approx 3\times 10^6\, P_{\rm p}$). Como consecuencia, en \textit{primera aproximación, son los electrones los principales responsables de la radiación emitida por un sistema}.

%\subsubsection{Ejemplo: Movimiento circular}

\section{Distribución de potencia (corrección relativista)}
La energía radiada (muy lejos de la región donde se mueve la carga) es dada por una expresión de la forma
\begin{equation}
 E=\int_t\oint_\Omega \frac{dP}{d\Omega}\,d\Omega\,dt=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\oint_\Omega\int_t\left.\frac{\left|\hat{n}\times
\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right]\right|^2}{\left(
1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}\right) ^{6}}\right|_{\rm ret}\,dt\,d\Omega .
\end{equation}
Considere el caso particular en que \textit{la carga acelera sólo en un cierto intervalo de tiempo}, por ejemplo, $\vec{a}(t)\neq\vec{0}$ sólo entre $t=T_1$ y $t=T_2$. La radiación emitida es entonces causada por la aceleración de la carga en ese periodo de tiempo. Sin embargo, debido a que el integrando está evaluado en el tiempo retardado $t'(\vec{x},t)$, el intervalo de tiempo en que se realiza la integración (\ref{Ecasi}) para calcular la energía radiada  (``muy lejos'') difiere del intervalo de tiempo en que la carga aceleró. ésta es una consecuencia de la velocidad finita ($c$) de propagación de las señales electromagnéticas. En el ejemplo particular analizado, la contribución a la integral sólo será no nula en un intervalo de tiempo entre $t=t_1$ y $t=t_2$, de modo que
\begin{equation}
 E=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\oint_\Omega\int_{t_1}^{t_2}\left.\frac{\left|\hat{n}\times
\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right]\right|^2}{\left(
1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}\right) ^{6}}\right|_{\rm ret}\,dt\,d\Omega , \label{Ecasi}
\end{equation}
y donde los valores $t_1$ y $t_2$ están relacionados con $T_1$ y $T_2$ por medio de
\begin{eqnarray}
T_1=t'(\vec{x},t_1)=t_1-\frac{1}{c}|\vec{x}-\vec{z}(T_1)|
\approx t_1-\frac{r}{c}, \\
T_2=t'(\vec{x},t_2)=t_2-\frac{1}{c}|\vec{x}-\vec{z}(T_2)|
\approx t_2-\frac{r}{c},
\end{eqnarray}
es decir, que $T_1$ y $T_2$ son los tiempos retardados asociados a los tiempos $t_1$ y $t_2$. Aquí hemos considerado que $r=|\vec{x}|\gg |\vec{z}(t)|$. Ver figura \ref{fig:tiempos}.
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=1.5cm]{fig/fig-tiempos.pdf}}
\caption{Tiempos retardados y tiempos de observación.}
\label{fig:tiempos}
\end{figure}

En resumen, si bien la carga acelera sólo en el intervalo de tiempo $[T_1,T_2]$, la integral \eqref{Ecasi} para la energía radiada se extiende sobre un intervalo de tiempo diferente (y posterior) $[t_1,t_2]$. En la mayoría de las situaciones es más conveniente calcular la energía radiada de modo que se integre \textit{directamente en el intervalo de tiempo correspondiente al periodo en que la carga acelera}. Esto equivale a realizar, \textit{para un valor de $\vec{x}'$ fijo dentro de la integral sobre el ángulo sólido en \eqref{Ecasi}},  un cambio de variable de $t$ a $t'$, es decir, a escribir
\begin{equation}
 E=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\oint_\Omega\int_{T_1}^{T_2}\left.\frac{\left|\hat{n}\times
\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right]\right|^2}{\left(
1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}\right) ^{6}}\right|_{t'}\left(\frac{dt}{dt'}\right)\,dt'd\Omega .\label{Edt'}
\end{equation}
En el cambio de variable anterior las coordenadas espaciales no son variadas, de modo que
\begin{equation}
\frac{dt}{dt'}=\left[\left(\frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{\vec{x}=\text{cte.}}\right]^{-1}
=\left[\partial_t t'\right]^{-1}=1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}. \label{dtdt'}
\end{equation}
En la última igualdad hemos usado nuestro resultado (\ref{dtt'2}). Note que esto implica que $dt<dt'$ \textit{si la velocidad de la carga está dirigida en la misma dirección que el vector} $\vec{n}$ (que apunta desde la carga hasta el punto lejano de observación) y $dt>dt'$ \textit{en caso contrario}. Esta diferencia de intervalos de tiempo corresponde al simple efecto cinemático en virtud del cual  la duración de una señal emitida por una fuente luminosa en movimiento es percibida como menor si la fuente se mueve hacia el receptor, y viceversa (efecto Doppler).

Reemplazando (\ref{dtdt'}) en (\ref{Edt'}) obtenemos
\begin{equation}
 E=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\oint_\Omega\int_{T_1}^{T_2}\left.\frac{\left|\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right]\right|^2}{\left(1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}\right)^5}\right|_{t'}\,dt'd\Omega .\label{Edt'2}
\end{equation}

Ahora \textit{el integrando está evaluado en el mismo tiempo usado para la integración}, y por lo tanto sólo contribuye integrar sobre el intervalo de tiempo en el cual la carga acelera. Puede decirse que la integral (\ref{Edt'2}) permite calcular la energía que \textit{será irradiada} por la carga debido a su movimiento (aceleración) en el intervalo $[T_1,T_2]$.

Podemos consecuentemente definir una correspondiente potencia irradiada por unidad de ángulo sólido:
\begin{equation}
\boxed{\frac{dP'}{d\Omega}(t):=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\frac{\left|\hat{n}\times
\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right]\right|^2}{\left(
1-\hat{n}\cdot\vec{\beta}\right) ^{5}},} \label{dP'}
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
 \boxed{E=\oint_\Omega\int_{T_1}^{T_2}\frac{dP'}{d\Omega}(t)\,dt\,d\Omega}
\end{equation}
es la energía (\textit{que será}) radiada por la carga, debido a su movimiento entre los tiempos $T_1$ y $T_2$ (es decir, con posición inicial $\vec{z}(T_1)$ y final $\vec{z}(T_2)$, etc).

Resumiendo: la potencia (por unidad de ángulo sólido) (\ref{dP'}) se diferencia de (\ref{dPdO}) en que la última es la energía radiada (por unidad de ángulo sólido) \textit{por unidad de tiempo transcurrido en los puntos (muy lejanos) de observación}, mientras que (\ref{dP'}) es la energía (que será) radiada (por unidad de ángulo sólido) \textit{por unidad de tiempo transcurrido en el movimiento de la carga}. Si bien la energía total radiada dada por las expresiones \eqref{Ecasi} y \eqref{dP'} es la misma, en la mayoría de las aplicaciones\footnote{...donde las velocidades de las cargas son relativistas, de otro modo la diferencia es insignificante.} es más conveniente describir la distribución de potencia radiada usando \eqref{dP'}.

\subsubsection{Ejemplo: Movimiento unidimensional}
\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{fig/fig-movimiento_lineal.pdf}}
\caption{Geometría para un movimiento unidimensional acelerado.}
\label{R14}
\end{figure}
En este caso de movimiento unidimensional acelerado tenemos que la velocidad es paralela a la aceleración, de modo que $\vec{\beta}\times\vec{a}=\vec{0}$. Además,
$\hat{n}\cdot\vec{\beta}=\beta\cos\theta$.
Reemplazando esto en \eqref{dP'} encontramos que 
\begin{equation}
\frac{dP'}{d\Omega}=\frac{\mu q^2}{16\pi^2 c}\frac{\vec{a}^2\sin^2
\theta}{\left(1-\beta\cos\theta\right)^5}. \label{dppdO}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-carga-relativista.pdf}}
\caption{Lóbulos de radiación para una carga relativista acelerada. Suponemos
iguales aceleraciones y normalizamos con respecto a ${\mu q^2\vec{a}^2}/{16\pi^2 c}$. Código Python \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-carga-relativista.py}{aquí}.}
\label{lobulo02}
\end{figure}
Podemos encontrar el ángulo $\theta=\theta_{\rm max}$ en el que se emite el
\textit{máximo de radiación}. Derivando (\ref{dppdO}) con respecto a $\theta$ e
igualando a cero, encontramos que
\begin{equation}
\cos\theta_{\rm max}=\frac{1}{3\beta}\left\{  \sqrt{1+15\beta^2}-1\right\}  .
\end{equation}
Esto indica que, para la misma aceleración, la radiación emitida por una carga se concentra más y más en la dirección de movimiento, a medida que la velocidad de la carga es mayor.


\section{Scattering de Thomson}
%Thomson=por carga, clasicamente elastico (igual frecuencia), intensidad indep. de frecuencia.
%Compton= igual que Thomson, pero tomando en cuenta efecto Compton = corrimiento frecuencia, para energías altas (comparables a energía en reposo de carga)
%Rayleigh=por particulas neutras pequeñas comparadas con \lambda: moleculas (aire), elastico = dipolos = intensidad depende de frec^4. Ejemplo, difusión de luz solar en moléculas de la atmósfera.
%Mie = cuerpos neutros grandes comparados con \lambda
%Raman=inelastico, absorbe/emite energia de modos de excitación de un sólido o líquido.


%*** AGREGAR: Introducir Intensidad $I$ de radiacion (pot/area)

Si una onda electromagnética monocromática incide
sobre una partícula libre de carga $q$ y masa $m$, la carga acelera y
entonces emite radiación. Esta radiación será emitida en otras
direcciones respecto de la dirección de la onda incidente. Además, si la carga se mueve a velocidades no-relativistas la radiación emitida por esta carga tendrá \textit{casi exclusivamente} la misma frecuencia que la radiación incidente (ver sección \ref{sec:rfp} para mayores detalles). El proceso completo puede ser descrito como \textit{scattering} (dispersión) \textit{elástico}\footnote{En nuestro contexto de la teoría electromagnética clásica, esto significa que la frecuencia de la luz que deja el sistema es la misma que la de la luz incidente.} de la radiación incidente, que llamamos \textbf{scattering de Thomson}\footnote{Joseph John Thomson (1856-1940): físico británico. Ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson}.}.

La potencia instantánea radiada es dada por (\ref{Lardif}), suponiendo velocidades no relativistas, es decir, 
\begin{equation}
\frac{dP}{d\Omega}=\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}|\hat{n}\times\vec{a}|^2.
\end{equation}
En este caso, la aceleración es producida por la fuerza que la onda incidente ejerce sobre la carga. Si la onda incidente es \textit{plana y polarizada linealmente}, con vector de onda $\vec{k}_0$ y \textbf{vector de polarización} $\vec{\epsilon}_0$ (que es, por definición, el vector unitario paralelo a la dirección del campo eléctrico indicente), entonces su campo eléctrico puede ser descrito usando
\begin{equation}
\vec{E}_0(\vec{x},t)=\operatorname{Re}\left[
\vec{\epsilon}_0E_0e^{i(\vec{k}_0\cdot\vec{x}-\omega t)}\right] .
\end{equation}
\textit{Suponiendo que la velocidad de la carga es en todo momento mucho menor que la de la luz}, podemos despreciar el término dependiente del campo magnético en la fuerza de Lorentz. Entonces, la aceleración de la carga es proporcional al campo eléctrico de la onda incidente:
\begin{equation}\label{ecd2x}
\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}
=\operatorname{Re}\left[\frac{qE_0}{m}\vec{\epsilon}_0e^{i(\vec{k}_0\cdot\vec{x}(t)
-\omega t)}\right] .
\end{equation}
Considerando las condiciones iniciales $\vec{x}(0)=\vec{0}$ y $\vec{v}(0)=\vec{0}$, integramos esta ecuación diferencial\footnote{Note que la incógnita, $\vec{x}(t)$, aparece en el término exponencial al lado derecho de \eqref{ecd2x}, por lo que la solción es, para condiciones iniciales generales, bastante no-trivial.} y obtenemos que la posición y velocidad de la carga tienen la forma
\begin{equation}
\vec{x}(t)
=\operatorname{Re}\left[-\frac{qE_0}{m\omega^2}\vec{\epsilon}_0(e^{-i\omega t}-1)\right] ,
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{v}(t)
=\operatorname{Re}\left[i\frac{qE_0}{m\omega}\vec{\epsilon}_0e^{-i\omega t}\right] .
\end{equation}
Vemos de aquí que las amplitudes de las oscilaciones en posición y velocidad son
$A={qE_0}/{m\omega^2}$ y $v_{\max}={qE_0}/{m\omega}$. Por lo
tanto, la aproximación usada es consistente sólo si $v_{\max}\ll c$, es decir si
$E_0\ll {m\omega c}/{q}$. Ya que $A={v_{\max}}/{\omega}$, esta condición
es equivalente a $A\ll c/\omega=\lambda/2\pi$, es decir, a que \textit{la amplitud de la oscilación de la carga sea mucho menor que la longitud de onda (reducida) de la radiación incidente}.

Es conveniente calcular el flujo de energía promedio irradiado en un ciclo,
para lo cual requerimos el promedio $\left\langle
{dP}/{d\Omega}\right\rangle$ en un periodo:
\begin{eqnarray}
\left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle  &=&
\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\left\langle |\hat{n}\times\vec{a}|^2\right\rangle \\
&=&\left(\frac{q^2\mu}{16\pi^2 c}\right)\left(\frac{qE_0}{m}\right)^2\left|
\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2\left\langle
\cos^2(\omega t)\right\rangle \\
&=&\left(\frac{q^4\mu E_0^2}{32\pi^2 c m^2}\right)\left|
\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2\\
&=&\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\left(\frac{E_0^2}{2\mu c}\right) \left|
\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2.
\end{eqnarray}
En la práctica es conveniente describir este proceso de scattering por medio de
la correspondiente  \textbf{sección diferencial de scattering}:
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega}:=\frac{\left( \text{Energía promedio radiada por unidad
de tiempo y de ángulo sólido}\right) }{\left( \text{Energía promedio
incidente por unidad de área y de tiempo}\right) }=\frac{\left\langle
\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle}{\left\langle S_0\right\rangle}.
\end{equation}
Note que ${d\sigma}/{d\Omega}$ tiene unidades de área (por unidad de ángulo
sólido).
El flujo de energía incidente promedio es precisamente el vector de Poynting
del campo incidente, promediado en un periodo, y está dado por la expresión \eqref{Sprom}:
\begin{eqnarray}
\left\langle S_0\right\rangle &=&\frac{1}{2\mu c}E_0^2.
\end{eqnarray}
Obtenemos entonces que la sección diferencial de scattering es dada por
\begin{equation}
\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega}  =\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\left|
\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2 .}\label{seeT}
\end{equation}
La cantidad $r_q:={q^2\mu}/{4\pi m}=(1/{4\pi\varepsilon})({q^2}/{mc^2})$ tiene dimensiones de longitud, y juega el rol de ``\textit{tamaño efectivo}'' de la carga para el proceso de scattering considerado\footnote{Compare, por ejemplo, con la sección diferencial de scaterring de una esfera de radio $R$ impactada por pequeñas partículas de prueba (de masa despreciable): $d\sigma/d\Omega=R^2/4$, $\sigma=\pi R^2$.}. Por ejemplo, para el electrón en el vacío $r_{\rm e}=(1/{4\pi\varepsilon_0})({e^2}/{m_{\rm e}c^2})\approx 2,8\times 10^{-15}m$. Esta distancia característica (de la interacción electromagnética) del electrón es llamada \textbf{radio clásico del electrón}.

Para evaluar (\ref{seeT}) requerimos de una expresión explícita para
$\left|\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2$. El cálculo es más sencillo si elegimos los ejes coordenados de modo que el vector de onda inicial $\vec{k}_0$ sea paralelo al eje $z$ y el vector $\epsilon_0$ paralelo al eje $x$. Ver figura \ref{fig:thomson}. En este caso, podemos escribir, $\vec{k}_0=k_0\hat{z}$, 
\begin{equation}\label{epsilon0}
\vec\epsilon_0=\hat{x},
\end{equation}
y 
\begin{equation}
\hat{n}=\hat{x}\sin\theta\cos\varphi + \hat{y}\sin\theta\sin\varphi +\hat{z}\cos\theta, \label{ene}
\end{equation}
de modo que $\theta$ es el ángulo entre $\hat{n}$ y $\vec{k}_0$, es decir, el
\textbf{ángulo de scattering} entre la radiación incidente y la emitida, y $\varphi$ es el ángulo azimutal entre $\vec{\epsilon}_0$ y
$\hat{n}$.
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-Thomson-esquema.pdf}}
 \caption{Esquema para el scattering Thomson.}
\label{fig:thomson}
\end{figure}
%Sabemos que (la componente radiativa d)el campo eléctrico producido por la carga es paralelo a
%$\hat{n}\times(\hat{n}\times\vec{a})\propto
%\hat{n}\times(\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0)$, por lo que podemos escribir
%\begin{equation}
%\vec{\epsilon}:=\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}, \qquad
%\vec{V}:=\hat{n}\times(\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0).
%\end{equation}
%Al calcular $\vec{V}$ usando de \eqref{epsilon0} y \eqref{ene} encontramos que
%\begin{equation}
%\vec{V}=-\hat{x}(\cos^2\theta+\sin^2\theta\sin^2\varphi)+\hat{y}\sin^2\theta\sin\varphi\cos\varphi
%+\hat{z}\sin\theta\cos\theta\cos\varphi,
%\end{equation}
%y por lo tanto
%\begin{equation}
%|\vec{V}|=\sqrt{\sin^2\varphi+\cos^2\theta\cos^2\varphi}.
%\end{equation}
%Así, obtenemos
%\begin{eqnarray}
% \vec{\epsilon}\cdot\vec{\epsilon}_0&=&\frac{1}{|\vec{V}|}
%\vec{V}\cdot\vec{\epsilon}_0 \\
% &=& -\frac{1}{|\vec{V}|}\left(\sin^2\varphi+\cos^2\theta\cos^2\varphi \right) \\
%  &=&-\sqrt{\sin^2\varphi+\cos^2\theta\cos^2\varphi} .
%\end{eqnarray}
De este modo, tenemos que
\begin{align}
\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0 = -\hat{z}\sin\theta\sin\varphi +\hat{y}\cos\theta,
\end{align}
\begin{align}
\left|\hat{n}\times\vec{\epsilon}_0\right|^2 = \sin^2\theta\sin^2\varphi +\cos^2\theta,
\end{align}
Por lo tanto,
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2
\left( \sin^2\theta\sin^2\varphi +\cos^2\theta \right).
\end{equation}
Recuerde que $\theta$ es el ángulo de scattering y $\varphi$ es el ángulo
azimutal entre la polarización inicial y la dirección de la radiación
emitida.

Para radiación incidente \textit{no polarizada}, podemos considerar que la
mitad de la radiación tiene una polarización descrita por un ángulo $\varphi$
y la otra mitad está polarizada en la dirección perpendicular, es decir,
correspondiente a cambiar el ángulo $\varphi$ por ${\pi}/{2}-\varphi$, ver figura  \ref{fig:thomson}. De este modo, la sección diferencial de scattering es dada, en este caso, por
\begin{align}
\left. \frac{d\sigma}{d\Omega}\right|_{\rm no-pol}&=\frac{1}{2}\left[\left.
\frac{d\sigma}{d\Omega}\right|_\varphi+\left.
\frac{d\sigma}{d\Omega}\right|_{\frac{\pi}{2}-\varphi}\right] \\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\left[\sin^2\theta\sin^2\varphi +\cos^2\theta +\sin^2\theta\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) +\cos^2\theta\right]\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\left(\sin^2\theta\sin^2\varphi +\cos^2\theta +\sin^2\theta\cos^2\varphi +\cos^2\theta\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\left(1+\cos^2\theta\right).
\end{align}
Como era de esperar, en este caso obtenemos una sección diferencial de scattering independiente de $\varphi$:
\begin{equation}
\boxed{\left.\frac{d\sigma}{d\Omega}\right|_{\rm no-pol}=\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2\frac{1}
{2}\left(1+\cos^2\theta\right) .}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-Thomson.pdf}}
 \caption{Sección diferencial de scattering de Thomson. Código Python \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-Thomson.py}{aquí}.}
\label{fig:thomson_2d}
\end{figure}
ésta es la llamada \textbf{fórmula de Thomson} para scattering de radiación
por cargas libres, y es apropiada para describir muchas situaciones físicas, com por ejemplo \textit{scattering de rayos X no-polarizados por electrones}, o \textit{rayos gamma por protones}. 
La distribución angular se muestra en la figura \ref{fig:thomson_2d}. 

La \textbf{sección total de scattering}, definida en general como la integral sobre el ángulo sólido de la sección diferencial, es llamada en este caso \textbf{sección tranversal de Thomson}, y es dada por
\begin{equation}
\boxed{\sigma_{\rm T}=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2=\frac{8\pi}{3} r_q^2.}
\end{equation}

Para el caso de electrones, la sección tranversal total de Thomson tiene el valor $\sigma_{\rm T}\approx 6.65\times 10^{-29}$ m$^2$.

\subsection{Correcciones a la fórmula de Thomson*}
La fórmula clásica de Thomson se ajusta a las observaciones sólo para frecuencias bajas, donde el momentum del fotón incidente puede ser ignorado. Cuando los momenta $\hbar\omega/c$ de los fotones son comparables o mayores que $mc$, es necesario incluir algunas modificaciones al modelo sencillo aquí expuesto. Uno de estos efectos a tomar en cuenta es el efecto Compton, por el que la frecuencia (energía) de un fotón dispersado es menor que la frecuencia (energía) del incidente, ya que la carga necesariamente sufre de un ``recoil'' durante el proceso. La cinemática (relativista) predice que el cambio de vector de onda de la radiación es de la forma
\begin{equation}
\frac{k'}{k}=\frac{1}{1+\frac{\hbar\omega}{mc^2}\left(  1-\cos
\theta\right)  }, \label{Thomson}
\end{equation}
donde $\theta$ es el ángulo de scattering en la sistema laboratorio (el marco
de referecia en reposo con la carga blanco). Un cálculo cuántico del
scattering de fotones por partículas de carga $q$ y masa $m$ produce la seccion
transversal siguiente:
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2  \left(
\frac{k'}{k}\right)^2\left|  \vec{\epsilon}\cdot\vec{\epsilon}_0\right|
^2 , \label{Thomson-corr}
\end{equation}
en lugar de la expresión clásica. El factor $(k'/k)^2$ describe una
reducción  (respecto al resultado clásico de Thomson) de la energía radiada
para ángulos grandes, como se muestra en las curvas segmentadas en la figura.
Además, existen correcciones adicionales para el scattering fotón-electrón al
tomar en cuenta el spin ${1}/{2}$ del electrón (descrito, por ejemplo, por
la ecuación de Dirac). Las curvas son similares a las del caso de partículas
sin spin, pero las secciones son un poco mayores para ángulos grandes debido a
la contribución del momento magnético del electrón.

\begin{figure}[!h]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-Thomson-modelos.pdf}}
 \caption{Sección diferencial de scattering Thomson (\ref{Thomson}) y
correcciones cuántico-relativistas (\ref{Thomson-corr}). El gráfico muestra
${d\sigma}/{d\Omega}$ en unidades de $r_q^2$ en función de
$\cos\theta$ para distintos valores de $x:={\hbar\omega}/{mc^2}$.}
\label{thomson}
\end{figure}

Nota: Además existe una expresión que incluye correcciones relativistas y de la interacción de la radiación con el momentum magn\'{e}tico del electrón:
\begin{equation}
\frac{d\sigma }{d\Omega}=\frac{1}{2}\left(\frac{q^2\mu}{4\pi m}\right)^2
\left(  \frac{1}{1+x\left(  1-\cos
\theta\right)  }\right)  ^{2}\left(  1+\cos^{2}\theta+\frac{x^{2}\left(
1-\cos\theta\right)  ^{2}}{1+x\left(  1-\cos\theta\right)  }\right),
\end{equation}
donde $x:={\hbar\omega}/{mc^{2}}$. La expresión anterior es la llamada \textit{fórmula de Klein-Nishina}, que puede ser calculada en el contexto de la teoría Cuántica de Campos del campo electromagnético interactuando con fermiones de spin 1/2 conocida como \textit{electrodinámica cuántica}.
La sección eficaz total de scattering de acuerdo a la fórmula de Klein-Nishina es
\begin{equation}
 \sigma(x)=\frac{3}{4}\sigma_T\left[\frac{(1+x)}{x^3}\left\lbrace\frac{2x(1+x)}{1+2x}-\ln(1+2x)\right\rbrace+\frac{1}{2x}\ln(1+2x)-\frac{1+3x}{(1+2x)^2}\right].
\end{equation}



%
%  Nosotros solo trabajamos con los limites de
% la expresion para $\hbar\omega\ll mc^2$ y $\hbar\omega\gg mc^2$%
% \begin{equation}
% \frac{\sigma}{\sigma_{T}}=\left\{
% \begin{array}
% [c]{c}%
% 1-2\frac{\hbar\omega}{mc^2}+...\text{ }\hbar\omega\ll mc^2\\
% \frac{3}{4}\frac{mc^2}{\hbar\omega}\text{ }\hbar\omega\gg mc^2%
% \end{array}
% \right.
% \end{equation}
% Para scattering por electrones el limite de frecuencia baja es el mismo, pero
% altas frecuencias hay un factor multiplicativo adicional $\frac{1}{4}+\frac
% {1}{2}\ln\left(  2\hbar\omega/mc^2\right)  .$
%
% Para protones la salida desde la formula de Thomson ocurre para energias de
% fotones sobre 100 MeV aproximadamente. Esto es lejos bajo la energia critica
% $\hbar\omega\sim Mc^2\sim1$GeV,



\section{Distribución de Energía en ángulo y Frecuencia radiada
por cargas aceleradas}

Habíamos obtenido, ver \eqref{Pinf1} y \eqref{S2E}, que la potencia irradiada por unidad de ángulo sólido es dada en general por
\begin{equation}\label{dp1}
\frac{dP}{d\Omega}(\hat{n},t)=\lim_{r\to\infty}\frac{1}{\mu c}\left|r\vec{E}(\vec{x},t)\right|^2 .
\end{equation}

La energía total irradiada por unidad de ángulo sólido es entonces
\begin{equation}
\frac{dE}{d\Omega}(\hat{n}) =\frac{1}{\mu c}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{r\to\infty}\left|r\vec{E}(\vec{x},t)\right|^2 dt .
\end{equation}

Queremos estudiar el \textit{espectro} de la radiación emitida, es decir, \textit{la distribución de potencia para distintas frecuencias}. Para ello, podemos \textit{expresar el campo radiado en términos de oscilaciones periódicas}. Esto significa expresar el campo eléctrico como una superposición de funciones armónicas. Dividiremos el análisis en dos casos dependiendo de si los campos son funciones periódicas del tiempo o no. Esto queda determinado en general por la dependencia temporal de las fuentes del campo y, en el caso particular en que la fuente es una carga puntual, por la periodicidad de la función $\vec{z}(t)$ que modela su movimiento. En el caso en que la trayectoria sea periódica, los campos generados también lo serán y la descomposición de estos campos en oscilaciones armónicas se realiza por medio de \textit{series de Fourier}. Por otro lado, si el movimiento de la carga no es periódico corresponderá descomponer los campos por medio de \textit{integrales (transformada) de Fourier}.

\subsection{Caso periódico}\label{sec:rfp}


%Si el movimiento de una carga es \textit{periódico}, entonces el
%espectro continuo de frecuencias de la radiación emitida se reduce a un
%\textit{espectro discreto} conteniendo frecuencias m\'{u}ltiples de la frecuencia
%fundamental.

Si la dependencia temporal de las fuentes ($\rho$ y $\vec{J}$ en general, o bien $\vec{z}(t)$ para el caso de la carga puntual) es periódica, con periodo $T$, el campo $\vec{E}(\vec{x},t)$ (y también $\vec{B}(\vec{x},t)$) también será una función periódica en $t$, y por lo tanto es posible expresarlo en términos de la siguiente \textit{serie de Fourier}
\begin{equation}\label{sFE}
\vec{E}(\vec{x},t) =\sum_{m\,\in\, \mathbb{Z}} \vec{E}_{m}(\vec{x})e^{i\omega_{m}t},
\end{equation}
donde $\omega_{m}:=m\omega_1$ serán múltiplos de la frecuencia
fundamental $\omega_1:={2\pi}/{T}$, y
\begin{equation}
\vec{E}_{m}(\vec{x}) =\frac{1}{T}\int_0^{T}\vec{E}(\vec{x},t) e^{-i\omega_{m}t}dt. \label{defAm}
\end{equation}
Debido a la periodicidad de todo el proceso, la energía radiada entre $t=-\infty$ y $t=+\infty$ \textit{es infinita}. Esto motiva considerar, en lugar de la energía  total emitida (por unidad de ángulo sólido), la energía emitida sólo en un periodo (por unidad de ángulo sólido), $dE_T/d\Omega$ o, equivalentemente, la \textit{potencia promedio} de la radiación emitida \textit{en un periodo} $T$ (por unidad de ángulo sólido), definida por
\begin{equation}
\left\langle \frac{dP}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}) :=\frac{1}{T}\frac{dE_T}{d\Omega}(\hat{n})=\frac{1}{T}\int_0^{T}\frac{dP}{d\Omega}(\hat{n},t)\,dt.
\end{equation}
Usando la expansión en serie de Fourier \eqref{sFE}, tenemos que
\begin{align}
\left\langle \frac{dP}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n})&
=\frac{1}{T}\int_0^{T}\lim_{r\to\infty}\frac{1}{\mu c}\left|r \vec{E}(\vec{x},t)\right|^2dt\\
&  =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\frac{r^2}{T}\int_0^{T}\sum_{m}\vec{E}_{m}^*e^{-i\omega_{m}t}\cdot\sum_{m'}\vec{E}_{m'}e^{i\omega_{m'}t}dt\\
&  =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\frac{r^2}{T}\sum_{m,m' }\int_0^{T}\vec{E}_{m}^*\cdot\vec{E}_{m'}e^{i\left(\omega_{m'}-\omega_{m}\right)  t}dt\\
&  =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2 \sum_{m,m'}\vec{E}_{m}^*\cdot\vec{E}_{m'}\frac{1}{T}
\int_0^{T}e^{i\omega_1\left(m'-m\right)  t}dt\\
&  =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\sum_{m,m' }\vec{E}_{m}^*\cdot\vec{E}_{m' }\delta_{m,m'}\\
&  =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\sum_{m}\left|\vec{E}_{m}\right|^2,
\end{align}
donde hemos usado
\begin{equation}
\frac{1}{T}\int_0^{T}e^{i\omega_1\left(m'-m\right)t }dt\equiv\delta_{m,m' }.
\end{equation}
Puesto que $\vec{E}(\vec{x},t)$ es real, tendremos que $\vec{E}_{m}^*=\vec{E}_{-m}$, y entonces podemos escribir:
\begin{equation}\label{dPdOsumm}
\left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}) =\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\left[\left|\vec{E}_0\right|^2
+2\sum_{m=1}^{\infty}\left|\vec{E}_{m}\right|^2\right].
\end{equation}
Definimos la \textit{potencia promedio radiada por
unidad de ángulo sólido en el m-ésimo armónico} como:
\begin{equation}
\left\langle\frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}) :=\frac{2}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\left|\vec{E}_{m}\right|^2, \qquad m=1,2,3,\cdots.
\end{equation}
La expresión (\ref{defAm}) nos permite entonces escribir, para el caso de el campo producido por una carga puntual:
\begin{eqnarray}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n})&=&
\frac{2}{\mu cT^2}\lim_{r\to\infty}r^2\left|\int_0^{T}\vec{E}(\vec{x},t)e^{-i\omega_{m}t}dt\right|^2\\
&=&\frac{q^2\mu}{8\pi^2T^2c}\left| \int_0^{T}\left.\frac{\hat{n}\times\left[  \left(\hat{n}-\vec{\beta}\right)\times\vec{a}\right] }{\left(
1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^3}\right|_{\rm ret} e^{-i\omega_{m}t}dt\right|^2.
\end{eqnarray}

Para simplificar la integral introducimos la nueva variable de integración
$t':=t_{\rm ret}(t)=t-{R}/{c}$ y usamos (\ref{dtt'2}), de modo que podemos escribir
\begin{align}
\int_0^{T}\left.\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{\beta}\right)\times\vec{a}\right] }{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^3}\right|_{\rm ret} e^{-i\omega_{m}t}dt &= \int_{-R/c}^{T-R/c}\left.\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right] }{R\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^3}\right|_{t'}e^{-i\omega_m (t'+R(t')/c)}\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right) dt' \\
&= \int_{-R/c}^{T-R/c}\left.\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{R\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}
\right|_{t'}e^{-i\omega_m (t'+R(t')/c)} dt' \\
&= \int_{-R/c}^{T-R/c}\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{R\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}
e^{-i\omega_m(t+R(t)/c)} dt.
\end{align}

En el último paso hemos renombrado la variable de integración volviendo
nuevamente a denotarla por $t$. Esta integral es evaluada ``en el infinito'', es decir, a grandes distancias de la carga ($r\rightarrow\infty$). Tomando en cuenta esto, podemos expandir $R$ en potencias de ${\vec{z}}/{r}$, obteniendo
\begin{equation}
R(t)  =r-\vec{z}(t) \cdot\hat{n}+O\left(\left[z/r\right]^2\right). \label{expR} %aqui cambie
\end{equation}
Usando esta expansión, podemos escribir:
\begin{equation}
\int_0^{T}\left.\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{\beta}\right)\times\vec{a}\right] }{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^3}\right|_{\rm ret} e^{-i\omega_{m}t}dt =\frac{e^{-i\frac{\omega_m r}{c}}}{r}\int_{-r/c}^{T-r/c}\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)\times{\vec{a}}\right] }{\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}
e^{-i\omega_m(t-\vec{z}(t)\cdot\hat{n}/c)} dt,
\end{equation}

Con esto, obtenemos
\begin{eqnarray}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n})
  &=&\frac{q^2\mu}{8\pi^2T^2c}\left|
\int_{-{r}/{c}}^{T-{r}/{c}}\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{
\beta}\right)\times\vec{a}\right]}{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2} e^{-i\omega_{m}\left(t-\vec{z}\cdot\hat{n}/c\right)}dt \right|^2. \label{int2}
\end{eqnarray}
Además, puesto que el integrando de (\ref{int2}) es periódico (asume los
mismos valores para $t$ y $t+T$), entonces podemos escribir
\begin{equation}
\boxed{\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n})
=\frac{q^2\mu}{8\pi^2T^2c}\left|
\int_0^{T}\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times\vec{a}\right]}{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2} e^{-i\omega_{m}\left(t-\vec{z}\cdot\hat{n}/c\right)}dt \right|^2.}\label{int3}
\end{equation}

Es posible simplificar aún más esta expresión usando la identidad
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left[ \frac{\hat{n}\times\left(  \hat{n}\times\vec{\beta}\right)
}{\left(  1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)  }\right] \equiv\frac{1}{c}
\frac{\hat{n}\times\left[
\left(  \hat{n}-\vec{\beta}\right)  \times\vec{a}\right]
}{\left(  1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}, \label{iddt1}
\end{equation}
y efectuando una integración por partes, ya que
\begin{align}
\frac{1}{c}\int_0^{T}\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times\vec{a}\right]}{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2} e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)}dt
&= \left.\frac{\hat{n}\times\left(\hat{n}\times\vec{\beta}\right)
}{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)} e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)  }\right|^T_0
\nonumber\\
&\quad- \int_0^{T}\frac{\hat{n}\times\left(
\hat{n}\times\vec{\beta}\right)}{\left(  1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right) }
e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)} \left[-i\omega_m(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n})\right] dt. \\
&=i\omega_m \int_0^{T}\hat{n}\times\left(\hat{n}\times\vec{\beta}\right)
e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)  }dt.
\end{align}
Aquí usamos el hecho que el primer término se anula puesto que la función a evaluar asume
idénticos valores tanto en $t=0$ como en $t=T$. Tomando en cuenta todos estos
elementos llegamos a:
\begin{align}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}) &
=\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}\left|\int_0^{2\pi/\omega_1}\hat{n}\times\left(\hat{n}\times\vec{v}\right)
e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)}dt \right|^2\\
&=\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}\left|
\hat{n}\times\int_0^{2\pi/\omega_1}\left(  \hat{n}\times\vec{v}\right)
e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)  }dt \right|^2\\
&=\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}\left|
\int_0^{2\pi/\omega_1}\left(  \vec{v}\times\hat{n}\right)  e^{-i\omega
_{m}\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right) }dt \right|^2.
\end{align}

Nuestro resultado final es entonces una expresión analítica para la potencia promedio (en un periodo) radiada (al infinito) por unidad de ángulo sólido en el modo de frecuencia
$\omega_m=m\omega_1=2\pi {m}/{T}$ por una carga $q$ que se mueve en una
trayectoria periódica arbitraria (en general, relativista) $\vec{z}(t)$, de
periodo $T$:
\begin{equation}\marginnote{Distribución discreta de potencia}
\boxed{\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n})
=\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}\left|
\int_0^{2\pi/\omega_1}\left(  \vec{v}\times\hat{n}\right)
e^{-i\omega_{m}\left(t-\frac{\vec{z}\cdot\hat{n}}{c}\right)}dt\right|^2.}
\label{promradperiódico}
\end{equation}
Como consecuencia, encontramos que $\left\langle {dP_{m}}/{d\Omega}\right\rangle=0$ para $m=0$, por lo que \eqref{dPdOsumm} puede entonces ser reescrita como
\begin{equation}
\boxed{\left\langle \frac{dP}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}) = \sum_{m=1}^\infty\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle (\hat{n}).}
\end{equation}



\subsubsection{Ejemplo: Radiación de una carga en M.A.S.}

Si la carga tiene un movimiento armónico simple de la forma
\begin{equation}
\vec{z}(t) =A\cos(\omega_1t)\hat{z},
\end{equation}
entonces
\begin{equation}
\vec{v}(t) =-A\omega_1\sin(\omega_1t)\hat{z}.
\end{equation}
Claramente, el sistema tiene simetría respecto a rotaciones en torno al eje
$z$. Esto implica que podemos considerar el vector $\hat{n}$ como contenido en
el plano $y-z$, sin perder generalidad, es decir,
\begin{equation}
\hat{n}=\hat{z}\cos\theta+\hat{y}\sin\theta,
\end{equation}
donde $\theta$ es el ángulo entre $\hat{n}$ y el eje $z$. Con esto tendremos
que
\begin{equation}
 \vec{z}\cdot\hat{n}=A\cos(\omega_1t)\cos\theta ,
\end{equation}
y
\begin{equation}
\vec{v}\times\hat{n}=A\omega_1\sin\theta\sin(\omega_1t)  \hat{x},
\end{equation}
de modo que
\begin{align}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle &=
\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}
\left| \int_0^{2\pi\omega_1}A\omega_1\sin\theta\sin\left(\omega_1t\right)
\hat{x}e^{-i\omega_1m\left(t-\frac{A\cos\left(\omega_1t\right)\cos\theta}{c}\right)}dt\right|^2\\
&=\frac{q^2\mu}{4\pi c}\frac{m^2\omega_1^4}{\left(2\pi\right)^3}
A^2\omega_1^2\sin^2\theta\left| \int_0^{2\pi/\omega_1}\sin\left(
\omega_1t\right) e^{-i\omega_1mt}e^{i\omega_1m\frac{A\cos\left(
\omega_1t\right)  \cos\theta}{c}}dt\right|^2 .  \label{promedioantescvar}
\end{align}
Calculemos primero la integral
\begin{equation}
I:=\int_0^{2\pi/\omega_1}\sin\left(\omega_1t\right)
e^{-i\omega_1mt}e^{i\omega_1m\frac{A\cos\left(  \omega_1t\right)
\cos\theta}{c}}dt.
\end{equation}
Introduciendo la nueva variable de integración adimensional
$x:=\omega_1t-\frac{\pi}{2}$ se tiene que
\begin{eqnarray}
I&=&\frac{1}{\omega_1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}
\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)  e^{-ixm}e^{i\frac{\omega_1mA}{c}\cos\left(
x+\frac{\pi}{2}\right)  \cos\theta}dx \\
&=&\frac{1}{\omega_1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\int_{-\pi+\frac{\pi}{2}}^{\pi+\frac{\pi
}{2}}\cos(x)e^{-ixm}e^{-i\frac{\omega_1mA}{c}\sin x\cos\theta}dx\\
&=&\frac{1}{\omega_1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)
e^{-ixm}e^{-i\beta m\sin x\cos\theta}dx\\
&=&\frac{1}{2\omega_1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\int_{-\pi}^{\pi}\left(
e^{ix}+e^{-ix}\right)e^{-ixm}e^{-i\beta m\sin x\cos\theta}dx\\
&=&\frac{e^{-i\frac{\pi}{2}m}}{2\omega_1}\left[\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix\left(
m-1\right)}e^{-i\beta m\sin x\cos\theta}dx+\int_{-\pi}^{\pi}e^{-ix\left(
1+m\right)}e^{-i\beta m\sin x\cos\theta}dx\right]  .
\end{eqnarray}
Aquí hemos además introducido la definición $\beta:={A\omega_1}/{c}$ que
corresponde a la amplitud de la velocidad del oscilador, respecto a la velocidad
de la luz.

Este resultado puede ser escrito en términos de \textit{funciones de Bessel}
$J_n(z)$, ya que\footnote{Ver, por ejemplo, la \cite{GR00}, página
902, expresión 8.411-1.}
\begin{equation}
J_{n}(z)  =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}e^{iz\sin x}dx ,
\end{equation}
y
\begin{equation}
 J_n(x)=(-1)^nJ_n(-x).
\end{equation}

Con esto, nuestra integral puede escribirse como
\begin{equation}
I=\frac{\pi}{\omega_1}(-1)^{m+1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\left[J_{m-1}\left(\beta
m\cos\theta\right)+J_{m+1}\left(\beta m\cos\theta\right)  \right]  .
\end{equation}
Recurrimos ahora a la siguiente identidad\footnote{Ver \cite{GR00}, página 916, expresión 8.471-1, o bien \cite{AW01}, página 672, expresión (11.10).}:
\begin{equation}
J_{n-1}(x)  +J_{n+1}(x)  =\frac{2n}{x}J_{n}\left(
x\right)  ,
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}\label{Ifinal}
I=(-1)^{m+1}e^{-i\frac{\pi}{2}m}\frac{2\pi}{\omega_1\beta\cos\theta}J_{m}\left(  \beta m\cos\theta\right).
\end{equation}
Sustituyendo \eqref{Ifinal} en \eqref{promedioantescvar} llegamos a nuestro
resultado final:
\begin{equation}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle
=\frac{q^2\mu c^3\beta^2m^2}{8\pi^2 A^2}\tan^2\theta\left[J_{m}\left(\beta
m\cos\theta\right)\right]^2,
\end{equation}
o bien,
\begin{equation}
\boxed{\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle
=\frac{q^2\mu c}{4\pi}\frac{\omega_1^2m^2}{2\pi}\tan^2\theta\left[ J_{m}\left(\frac{A\omega_1
m}{c}\cos\theta\right)  \right]^2.}
\end{equation}
\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=7cm]{fig/fig-mas.pdf}}
\caption{Lóbulo de radiación para $m=1,\dots,5$, $\beta=0.5$. Código Python \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-mas.py}{aquí}.}
\label{TER2}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-mas-potencia-total-comparacion.pdf}}
 \caption{Potencia promedio radiada para $m=1,\cdots,5$, con parámetros de velocidad $\beta=0.5$ y  $\beta=0.1$, normalizadas respecto a la potencia total.  Código Python \href{https://github.com/gfrubi/electrodinamica/blob/master/figuras-editables/fig-mas-potencia-total-comparacion.py}{aquí}.}
\label{TER3}
\end{figure}
Podemos comprobar que \textit{la mayor cantidad de energía se irradia en la
frecuencia fundamental} $\omega_1$ (es decir, para $m=1$), mientras que los
armónicos superiores son en general suprimidos. Para movimientos
no-relativistas ($\beta\ll 1$) sólo la frecuencia fundamental radía
significativamente.

 En el límite no relativista, $\beta\ll 1$, podemos usar\footnote{Ver \cite{GR00}, página 908, expresión 8.440, o \cite{AW01} página 670, expresión (11.5).}
\begin{equation*}
J_{n}(x)\approx \frac{x^n}{2^nn!}, \qquad |x|\ll 1.
\end{equation*}
Por lo tanto, en este límite
\begin{equation}
\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle
\approx  \frac{\mu c}{8\pi^2}\left[\frac{q\omega_1}{(m-1)!}\left(\frac{A\omega_1m}{2c}\cos\theta\right)^{m}\tan\theta\right]^2.
\end{equation}
Además, de aquí obtenemos
\begin{equation}
\frac{\left\langle \frac{dP_{m+1}}{d\Omega}\right\rangle}{\left\langle \frac{dP_{m}}{d\Omega}\right\rangle}\approx \left[\frac{A\omega_1}{2c}\cos\theta\right]^2=O(\beta^2),
\end{equation}
que muestra que la potencia radiada decrece en un factor del orden $\beta^2$ entre un armónico y el siguiente. Además,
\begin{equation}
\left\langle \frac{dP_{1}}{d\Omega}\right\rangle
\approx  \frac{q^2\mu A^2\omega_1^4}{32\pi^2 c}\sin^2\theta.
\end{equation}

 Integrando con respecto al ángulo sólido obtenemos la potencia total promedio:
\begin{align}
\left\langle P_{1}\right\rangle &= \int \left\langle\frac{dP_{1}}{d\Omega}\right\rangle\,d\Omega\\
&\approx \frac{q^2\mu A^2\omega_1^4}{32\pi^2c}\,2\pi\int_{0}^{\pi
}\sin ^{3}\theta\, d\theta   \\
&\approx \frac{q^2\mu A^2\omega_1^4}{16\pi c}\,\frac{4}{3}  \\
&\approx \frac{q^2\mu A^2\omega_1^4}{12\pi c}.
\end{align}

Note la consistencia de este resultado con la fórmula de Larmor (\ref{R-larmor}), ya que en este caso $\left\langle\vec{a}^2\right\rangle=\left\langle A^2\omega_1^4\cos^2(\omega_1t)\right\rangle=A^2\omega_1^4/2$.


\subsection{Caso no periódico}

Si la fuente (por ejemplo, la trayectoria $\vec{z}(t)$ en el caso de una carga puntual) no es periódica, los campos tampoco lo serán y en este caso la descomposición en oscilaciones armónicas del campo elécrtico toma la forma de una integral (o transformada) de Fourier $\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)$ del vector $\vec{E}(\vec{x},t)$, de modo que
\begin{equation}
 \vec{E}(\vec{x},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega) e^{i\omega t}d\omega ,
\end{equation}
donde
\begin{equation}
\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega) :=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\vec{E}(\vec{x},t) e^{-i\omega t}dt .  \label{dp3}
\end{equation}

El hecho que $\vec{E}(\vec{x},t)$ es real se traduce en que 
$\tilde{\vec{E}}^*(\vec{x},\omega)=\tilde{\vec{E}}(\vec{x},-\omega)$. En términos de la transformada de $\vec{E}(\vec{x},t)$, la energía total radiada por unidad de ángulo sólido puede escribirse como:
\begin{eqnarray}
\frac{dE}{d\Omega}(\hat{n}) &=&\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}r^2\left|\vec{E}(\vec{x},t)
\right|^2dt \label{dEdO0}\\
&=&\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}r^2\vec{E}(\vec{x},t)\cdot \vec{E}^*(\vec{x},t)dt\\
&=&\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{
\infty}r^2\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega) \cdot e^{i\omega t}\tilde{\vec{E}}^\ast(\vec{x},\omega')e^{-i\omega' t}\,d\omega d\omega' dt\\
&=&\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}r^2\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)\cdot \tilde{\vec{E}}^*(\vec{x},\omega')\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega-\omega')t}\,dtd\omega d\omega' .
\end{eqnarray}

Recordando que
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty }e^{i\left( k-k' \right)  x}dx=
\delta\left(  k-k' \right),
\end{equation}
llegamos a 
\begin{eqnarray}
\frac{dE}{d\Omega}(\hat{n})
&=&\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} r^2\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)\cdot\tilde{\vec{E}}^\ast(\vec{x},\omega') \delta (\omega-\omega')  d\omega d\omega'\\
&=&\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}r^2\left|\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)\right|^2 d\omega. \label{dedO1}
\end{eqnarray}

Note que la igualdad entre las expresiones (\ref{dEdO0}) y (\ref{dedO1}) no es más que el resultado usualmente conocido como \textit{teorema de Parceval}.

Definimos la\textit{ energía radiada por unidad de ángulo sólido y por intervalo de frecuencia (angular)} ${d^2E}/{d\Omega d\omega}$, de modo que
\begin{equation}
\frac{dE}{d\Omega}(\hat{n})=\int_0^{\infty}\frac{d^2E}{d\Omega d\omega}(\hat{n},\omega)\,d\omega .
\end{equation}
Con esta definición y el resultado (\ref{dedO1}), encontramos
\begin{equation}
\frac{d^2E}{d\Omega d\omega}(\hat{n},\omega)=\frac{1}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\left[\left|\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)\right|^2 +\left|\tilde{\vec{E}}(\vec{x},-\omega)\right|^2\right]
=\frac{2}{\mu c}\lim_{r\to\infty}r^2\left|\tilde{\vec{E}}(\vec{x},\omega)\right|^2.
\end{equation}
En el caso de la radiación de una carga acelerada, tenemos
\begin{equation}
\tilde{\vec{E}}_{\rm{rad}}(\vec{x},\omega)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{q\mu}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left.\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{R\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)
^3}\right|_{\rm ret}e^{-i\omega t}dt .
\end{equation}

Ahora usamos la misma técnica usada en el caso periódico, consistente en cambiar variable de integración desde $t$ hasta $t'=t_{\rm ret}$. De forma análoga, encontramos entonces que la energía total irradiada por unidad de ángulo sólido e intervalo de frecuencia es (en el límite $r\to\infty$)
\begin{equation}\marginnote{Distribución de energía en frecuencia}
\boxed{\frac{d^2E}{d\Omega d\omega}(\hat{n},\omega)
=\frac{q^2\mu}{16\pi^3c}\left|\int_{-\infty}^{\infty
}\frac{\hat{n}\times\left[ \left( \hat{n}-\vec{\beta}\right)
\times{\vec{a}}\right] }{\left( 1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}
e^{-i\omega (t-\vec{z}(t)\cdot\hat{n}/c)} dt\right|^2 .} \label{dEdOdo}
\end{equation}
En general, \textit{una carga en un movimiento arbitrario irradiará en un continuo de frecuencias}. Esto se refleja en que ${d^2E}/{d\Omega d\omega}$ será una cierta función continua de la frecuencia $\omega$ de emisión.

Note además que es posible usar una expresión análoga a (\ref{promradperiódico}) para el caso del espectro continuo, bajo ciertas condiciones adicionales. Usando la identidad (\ref{iddt1}) tenemos que
\begin{align}
\frac{1}{c}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\hat{n}\times\left[\left(\hat{n}-\vec{\beta}\right) \times\vec{a}\right]}{\left(
1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)^2}e^{-i\omega\left(  t
-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)}dt
&= \left.\frac{\hat{n}\times\left(  \hat{n}\times\vec{\beta}\right)
}{\left(1-\vec{\beta}\cdot\hat{n}\right)}
e^{-i\omega\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)}\right|^{+\infty}_{-\infty}
\nonumber\\
&\quad +i\omega \int_{-\infty}^{+\infty}\hat{n}\times\left(\hat{n}\times\vec{\beta}\right)
e^{-i\omega\left(t-\frac{1}{c}\vec{z}\cdot\hat{n}\right)  }dt. \label{intpartes2}
\end{align}
En general, el primer término del lado derecho de esta expresión puede no ser nulo. Sin embargo, \textit{si la velocidad de la carga tiende a cero para} $t\to\pm\infty$, entonces el primer término del lado derecho de \eqref{intpartes2} se anula y podemos escribir
\begin{equation}
\boxed{\frac{d^2E}{d\Omega d\omega}(\hat{n},\omega)
=\frac{q^2\mu\omega^2}{16\pi^3c}\left|\int_{-\infty}^{+\infty}
\left(  \vec{v}\times\hat{n}\right)
e^{-i\omega\left(t-\frac{\vec{z}\cdot\hat{n}}{c}\right)  }dt\right|^2 .} \label{dEdOdo2} \marginnote{Si $\vec{v}\to\vec{0}$ para $t\to\pm\infty$}
\end{equation}

\section{Dipolo de Hertz (dipolo eléctrico ideal)}

En 1886 Hertz\footnote{Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894): físico alemán. Ver \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Rudolf_Hertz}.} desarrolló la primera \textit{antena dipolar} con la que realizó experimentos de emisión y recepción de \textit{ondas de radio} (``ondas hertzianas''). El modelo más sencillo de una antena dipolar es el de un \textit{dipolo eléctrico con momento dipolar que cambia en el tiempo}.

Consideraremos entonces el modelo idealizado de un dipolo eléctrico, formado por dos cargas $q_1=q$ y $q_2=-q$ situadas en las posiciones
\begin{equation}
 \vec{z}_1(t)=\frac{1}{2}\vec{d}(t), \qquad \vec{z}_2(t)=-\frac{1}{2}\vec{d}(t).
\end{equation}
El momento dipolar eléctrico del sistema es dado por
\begin{equation}
 \vec{p}(t)=q\vec{d}(t).
\end{equation}
En un instante y una posición dada, el campo producido por este dipolo es la \textit{superposición del campo} correspondiente a cada carga. En particular, el potencial vectorial (siempre usando el gauge de Lorenz) es la suma de los potenciales vectoriales retardados, ver (\ref{potretq}b), de ambas cargas:
\begin{equation}
\vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu c}{4\pi}\left[\left.\frac{q_1\vec{\beta}_1}{R_1(1-\hat{n}_1\cdot\vec{\beta}_1)}\right|_{{\rm ret}_1} +\left.\frac{q_2\vec{\beta}_2}{R_2(1-\hat{n}_2\cdot\vec{\beta}_2)}\right|_{{\rm ret}_2}\right].
\end{equation}
Note que las contribuciones de cada carga están evaluadas en el tiempo retardado correspondiente que, en general, \textit{es diferente}: $t'_1\neq t'_2$, ya que $\vec{z}_1(t)\neq\vec{z}_2(t)$.

Si las cargas se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz, $\beta_1\ll 1$, $\beta_2\ll 1$, podemos escribir
\begin{eqnarray}
\vec{A}(\vec{x},t)&\approx&\frac{\mu c}{4\pi}\left[\left.\frac{q_1\vec{\beta}_1}{R_1}(1+\hat{n}_1\cdot\vec{\beta}_1)\right|_{{\rm ret}_1} +\left.\frac{q_2\vec{\beta}_2}{R_2}(1+\hat{n}_2\cdot\vec{\beta}_2)\right|_{{\rm ret}_2}\right] \\
&=&\frac{q\mu c}{4\pi}\left[\left.\frac{\vec{\beta}_1}{R_1}\right|_{{\rm ret}_1} -\left.\frac{\vec{\beta}_2}{R_2}\right|_{{\rm ret}_2}\right] +O(\beta^2).
\end{eqnarray}
En el límite de ``dipolo ideal'' $d\to 0$ ($\vec{z}_1\to\vec{0}$, $\vec{z}_2\to\vec{0}$), tenemos que
\begin{equation}
 \vec{R}_1\to\vec{R}_2\to\vec{r}, \qquad \hat{n}_1\to\hat{n}_2\to\hat{r}, \qquad  t'_1=t'_2\to t-\frac{r}{c},
\end{equation}
y por lo tanto,
\begin{equation}
 \vec{A}(\vec{x},t)=\frac{q\mu c}{4\pi}\frac{1}{r}\left.(\vec{\beta}_1-\vec{\beta}_2)\right|_{t-\frac{r}{c}}.
\end{equation}
Podemos escribir este resultado en términos de la variación temporal del momento dipolar eléctrico del sistema, ya que
\begin{equation}
q\left[\vec{\beta}_1(t)-\vec{\beta}_2(t)\right]=\frac{q}{c}\left[\dot{\vec{z}}_1(t)-\dot{\vec{z}}_2(t)\right]=\frac{q}{c}\dot{\vec{d}}(t)=\frac{\dot{\vec{p}}(t)}{c}.
\end{equation}
Entonces, para un dipolo ideal no-relativista, obtenemos
\begin{equation}
\boxed{\vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\dot{\vec{p}}(t-{r}/{c})}{r}.} \label{Adipid}
\end{equation}
Podemos calcular el potencial escalar en forma análoga, es decir, a partir de la superposición de los potenciales retardados de las cargas que constituyen el dipolo. Alternativamente, podemos usar el hecho que los potenciales retardados fueron calculados usando el gauge de Lorenz. En efecto, usando \eqref{gLorenz} podemos calcular $\phi$ en términos del potencial vectorial $\vec{A}$:
\begin{eqnarray}
\phi(\vec{x},t)&=&\phi(\vec{x},t_0)-c^2\int_{t_0}^t(\vec{\nabla}\cdot\vec{A})(\vec{x},\bar{t})\,d\bar{t} \\
&=&\phi(\vec{x},t_0)-\frac{\mu c^2}{4\pi} \vec{\nabla}\cdot\left[\frac{1}{r}\int_{t_0}^t\dot{\vec{p}}(\bar{t}-{r}/{c})\,d\bar{t}\right] \\
&=&\phi(\vec{x},t_0)-\frac{\mu c^2}{4\pi} \vec{\nabla}\cdot\left[\frac{1}{r}\left[\vec{p}(t-{r}/{c})-\vec{p}(t_0-{r}/{c})\right]\right] \\
&=&\phi(\vec{x},t_0)+\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{1}{r^2}\,\hat{r}\cdot\vec{p}(t-{r}/{c})+\frac{1}{cr}\hat{r}\cdot\dot{\vec{p}}(t-{r}/{c})\right] \nonumber\\
&& -\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{1}{r^2}\,\hat{r}\cdot\vec{p}(t_0-{r}/{c})+\frac{1}{cr}\hat{r}\cdot\dot{\vec{p}}(t_0-{r}/{c})\right] \\
&=& g(\vec{x},t)+\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{1}{r^2}\,\hat{r}\cdot\vec{p}(t-{r}/{c})+\frac{1}{cr}\hat{r}\cdot\dot{\vec{p}}(t-{r}/{c})\right] .
\end{eqnarray}
La función $g(\vec{x},t)$ puede elegirse como nula imponiendo la condición que $\phi(\vec{x},t)$ se anule en el límite $\vec{p}\to\vec{0}$. Con esto, obtenemos 
\begin{equation}
\boxed{\phi(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{\hat{r}\cdot\vec{p}}{r^2}+\frac{\hat{r}\cdot\dot{\vec{p}}}{cr}\right]_{t-{r}/{c}}.} \label{phidipid}
\end{equation}
Vemos de este resultado que es posible diferenciar dos regiones del espacio, determinados por cuál de los dos términos que compone el potencial escalar será predominante:

\subsection{Zona cercana}

La \textbf{zona cercana} (near zone) se define como la zona en que
\begin{equation}
\phi(\vec{x},t)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left.\frac{\hat{r}\cdot\vec{p}}{r^2}\right|_{\rm ret},
\end{equation}
es decir, en que \textit{el campo tiene la misma forma que en el caso estático}. Más detalladamente, como el potencial tiene, cuando se expresa en términos del momento dipolar, la misma forma funcional que en el caso estático, pero ahora con $\vec{p}=\vec{p}(t)$, se dice que el campo es \textit{cuasi-estático}. De la expresión \eqref{phidipid} vemos que esto ocurre para distancias $r$ tales que
\begin{equation}
|\dot{p}|r\ll c|p|.
\end{equation}

\subsection{Zona de lejana o de radiación}
La \textbf{zona lejana o zona de radiación} (far zone), por otro lado, corresponde a distancias lejanas tales que $|\dot{p}|r\gg c|p|$, de modo que
\begin{equation}
\phi(\vec{x},t)\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left.\frac{\hat{r}\cdot\dot{\vec{p}}}{cr}\right|_{\rm ret}.
\end{equation}

Por ejemplo, para un dipolo variando armónicamente, $\vec{p}(t)=\vec{p}_0\cos(\omega t)$, tenemos que la zona cercana está definida por $r\ll c/\omega=1/k=\lambda/2\pi$. En otras palabras, \textit{las zonas cercana y lejana están definidas respecto de la distancia determinada por la longitud de onda de la radiación emitida}.

Derivando los potenciales (\ref{Adipid}) y (\ref{phidipid}) obtenemos los campos eléctrico y magnético correspondientes:
\begin{equation}
 \boxed{\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\left[\frac{(\ddot{\vec{p}}\cdot\hat{r})\hat{r}-\ddot{\vec{p}}}{c^2r}+\frac{3(\dot{\vec{p}}\cdot\hat{r})\hat{r}-\dot{\vec{p}}}{cr^2}+\frac{3(\vec{p}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3}\right]_{\rm ret},}
\end{equation}
\begin{equation}
 \boxed{\vec{B}=\frac{\mu}{4\pi}\left[\frac{\ddot{\vec{p}}\times\hat{r}}{cr}+\frac{\dot{\vec{p}}\times\hat{r}}{r^2}\right]_{\rm ret}.}
\end{equation}
En la \textit{zona cercana}, los campos están dominados por las siguientes contribuciones:
\begin{equation}
 \vec{E}\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{3(\vec{p}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3},
\qquad
 \vec{B}\approx\frac{\mu}{4\pi}\frac{\dot{\vec{p}}\times\hat{r}}{r^2}.
\end{equation}
Por otro lado, en la \textit{zona lejana}, o \textit{zona de radiación}, los campos están dominados por los términos que decaen con $1/r$:
\begin{equation}
 \vec{E}\approx\vec{E}_{\rm rad}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{(\ddot{\vec{p}}\cdot\hat{r})\hat{r}-\ddot{\vec{p}}}{c^2r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{(\ddot{\vec{p}}\times\hat{r})\times\hat{r}}{c^2r}, \qquad
 \vec{B}\approx \vec{B}_{\rm rad}=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\ddot{\vec{p}}\times\hat{r}}{cr}.
\end{equation}
Notamos que estos campos satisfacen
\begin{equation}
 \vec{E}_{\rm rad}\cdot\hat{r}=0,\qquad  \vec{B}_{\rm rad}\cdot\hat{r}=0,\qquad \vec{B}_{\rm rad}=\frac{1}{c}\hat{r}\times\vec{E}_{\rm rad}, \qquad \vec{E}_{\rm rad}=c\vec{B}_{\rm rad}\times\hat{r},
\end{equation}
de modo que la parte radiativa del vector de Poynting es dada por
\begin{equation}
\vec{S}_{\rm rad}=\frac{1}{\mu c}\vec{E}_{\rm rad}\times(\hat{r}\times\vec{E}_{\rm rad}) 
=\frac{1}{\mu c}\vec{E}_{\rm rad}^2\,\hat{r}= \frac{\mu}{16\pi^2 c}\left|\frac{(\ddot{\vec{p}}\times\hat{r})\times\hat{r}}{r}\right|^2\hat{r} 
=\frac{\mu}{16\pi^2 c}\frac{\ddot{\vec{p}}{\,}^2}{r^2}\sin^2\theta\,\hat{r},
\end{equation}
donde $\theta$ es el ángulo entre $\ddot{\vec{p}}$ y $\hat{r}$ (que, en general, depende del tiempo). La potencia radiada por el dipolo por unidad de ángulo sólido es entonces 
\begin{equation}
\boxed{\frac{dP}{d\Omega}%=r^2\vec{S}\cdot \hat{r}
=\frac{\mu}{16\pi^2 c}\left.{\ddot{\vec{p}}{\,}^2}\sin^2\theta\right|_{\rm ret}.}
\end{equation}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-dipolo.pdf}}
 \caption{Lóbulo de radiación de un dipolo ideal.}
\label{fig-dipolo}
\end{figure}
Finalmente, la potencia (instantánea) total radiada adopta una forma análoga a aquella dada por la fórmula de Larmor, ver \eqref{R-larmor}:
\begin{equation}\label{PotdH}
\boxed{P=\frac{\mu}{6\pi c}\left.\ddot{\vec{p}}{\,}^2\right|_{\rm ret}.}
\end{equation}

Para un dipolo variando \textit{armónicamente} en el tiempo con frecuencia angular $\omega$, de modo que $\ddot{\vec{p}}(t)=-\omega^2\vec{p}(t)$, la \textit{potencia promedio} puede escribirse como:
\begin{equation}
\left\langle P\right\rangle
=\frac{\mu}{6\pi c}\left\langle\left.\ddot{\vec{p}}{\,}^2\right|_{\rm ret}\right\rangle 
=\frac{\mu}{6\pi c}\omega^4\left\langle\left.\vec{p}^2\right|_{\rm ret}\right\rangle
=\frac{\mu}{12\pi c}\omega^4 p_0^2,
%=\frac{(2\pi)^3\mu}{6c}\frac{p_0^2}{\lambda^4},
\end{equation}
con $p_0^2:=2\left\langle \vec{p}{\,}^2(t)\right\rangle$.


\section{Radiación de una pequeña espira de corriente}

Consideremos un pequeño circuito (una espira) circular, de radio $a$, por el cual fluye una corriente $I(t)$. Consideraremos además que en todo momento  el cable es eléctricamente neutro y que la corriente que circula por él es uniforme. Entonces, $\rho=0$ y por lo tanto podemos considerar que $\phi=0$.

El potencial vectorial es dado por la expresión general (\ref{potret}b). Como en este caso la distribución de corriente es unidimensional, podemos reemplazar $\vec{J}\,dV'$ por $I\,d\vec{\ell} '$, de modo que
\begin{equation}
 \vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\oint \frac{I(t_{\rm ret})}{R}d\vec{\ell} ' , \label{Aloop1}
\end{equation}
con $R=|\vec{x}-\vec{x}'|$ y $t_{\rm ret}=t-R/c$.

En analogía con lo discutido en la sección anterior, consideraremos el caso de un \textit{dipolo magnético ideal}, que corresponde al límite en que $a\to 0$, pero $\mu=AI=\pi a^2I$ tiende a un valor finito.

Sobre la circunferencia de la espira tenemos que $\vec{x}'=a\hat{r}'$. Adicionalmente, expandiremos (\ref{Aloop1}) en potencias de $a/r\ll 1$.  Comenzamos expandiendo $R$:
\begin{eqnarray}
 R&=&r\left|\hat{r}-\frac{a\hat{r}'}{r}\right| \\
&=&r\left(1-\frac{a}{r}\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2)\right) \\
&=& r-a\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2).
\end{eqnarray}
Como consecuencia de esto, obtenemos
\begin{equation}
 \frac{1}{R}=\frac{1}{r}+\frac{a}{r^2}\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2),
\end{equation}
y además,
\begin{equation}
 t_{\rm ret}=t-\frac{r}{c}+\frac{a}{c}\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2).
\end{equation}
Expandiremos ahora la expresión $I(t_{\rm ret})$:
\begin{eqnarray}
 I(t_{\rm ret})
&=&I\left(t-\frac{r}{c}+\frac{a}{c}\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2)\right) \\
&=&I\left(t-\frac{r}{c}\right)+\dot{I}\left(t-\frac{r}{c}\right)\left(\frac{a}{c}\hat{r}\cdot\hat{r}'\right)+O(a^2).
\end{eqnarray}
De esta forma, podemos escribir que
\begin{eqnarray}
\frac{I(t_{\rm ret})}{R}
&=&\left[\frac{1}{r}+\frac{a}{r^2}\hat{r}\cdot\hat{r}'+O(a^2)\right]\left[I\left(t-\frac{r}{c}\right)+\dot{I}\left(t-\frac{r}{c}\right)\left(\frac{a}{c}\hat{r}\cdot\hat{r}'\right)+O(a^2)\right]\\
&=&\frac{I}{r}+\frac{a\dot{I}}{cr}(\hat{r}\cdot\hat{r}')+\frac{aI}{r^2}(\hat{r}\cdot\hat{r}')
+O(a^2)\\
&=&\frac{I}{r}+\frac{a\dot{I}}{cr}(\hat{r}\cdot\hat{r}')+\frac{aI}{r^2}(\hat{r}\cdot\hat{r}')+O(a^2).
\end{eqnarray}
Note que para simplificar la notación hemos omitido explicitar que las funciones $I$ y $\dot{I}$ están evaluadas en el tiempo $t':=t-r/c$. Al introducir esta expansión en (\ref{Aloop1}) obtenemos:
\begin{eqnarray}
 \vec{A}(\vec{x},t)&=&\frac{\mu}{4\pi r}\left[I\oint d\vec{\ell}'
+\frac{a\dot{I}}{c}\oint(\hat{r}\cdot\hat{r}')d\vec{\ell}'+\frac{aI}{r}\oint(\hat{r}\cdot\hat{r}')d\vec{\ell}'+O(a^2)\right]  \\
&=&\frac{\mu}{4\pi r}\left[Ia\oint d\hat{r}'
+\frac{a^2\dot{I}}{c}\oint(\hat{r}\cdot\hat{r}')d\hat{r}'+\frac{a^2I}{r}\oint(\hat{r}\cdot\hat{r}')d\hat{r}'\right] +O(a^3).
\end{eqnarray}
Pero $\oint d\hat{r}'=\vec{0}$ sobre toda curva cerrada. Además un simple cálculo muestra que para cualquier curva cerrada plana (como nuestra espira) se satisface 
\begin{equation}
\oint(\hat{r}\cdot\hat{r}')d\hat{r}'=\pi(\hat{z}\times\hat{r}) .
\end{equation}
Con esto, e introduciendo el \textit{momento magnético} de la espira, $\vec{\mu}=\pi a^2I\hat{z}$, obtenemos
\begin{equation}
 \boxed{\vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\left[\frac{\vec{\mu}\times\hat{r}}{r^2}+\frac{\dot{\vec{\mu}}\times\hat{r}}{cr}\right]_{\rm ret}.}
\end{equation}

Calculamos ahora los campos eléctrico y magnético a partir de los potenciales. Obtenemos que
\begin{equation}
 \boxed{\vec{E}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\left[\frac{\hat{r}\times\dot{\vec{\mu}}}{r^2}+\frac{\hat{r}\times\ddot{\vec{\mu}}}{cr}\right]_{\rm ret},}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{ \vec{B}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\left[\frac{3(\hat{r}\cdot\vec{\mu})\hat{r}-\vec{\mu}}{r^3}+\frac{3(\hat{r}\cdot\dot{\vec{\mu}})\hat{r}-\dot{\vec{\mu}}}{cr^2}+\frac{(\hat{r}\cdot\ddot{\vec{\mu}})\hat{r}-\ddot{\vec{\mu}}}{c^2r}\right]_{\rm ret}.}
\end{equation}
Tal como hemos visto en los casos anteriores, las componentes radiativas son aquellas que decaen con $1/r$, es decir,
\begin{equation}
 \boxed{\vec{E}_{\rm rad}(\vec{x},t)
=\frac{\mu}{4\pi c}\frac{\hat{r}\times\ddot{\vec{\mu}}}{r},} \qquad
 \boxed{\vec{B}_{\rm rad}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi c^2}\frac{(\hat{r}\cdot\ddot{\vec{\mu}})\hat{r}-\ddot{\vec{\mu}}}{r}.}
\end{equation}

Como es directo de verificar, estos campos satisfacen nuevamente las relaciones:
\begin{equation}
\vec{E}_{\rm rad}\cdot\hat{r}=0, \qquad \vec{B}_{\rm rad}\cdot\hat{r}=0, \qquad \vec{B}_{\rm rad}=\frac{1}{c}\hat{r}\times\vec{E}_{\rm rad}, \quad \vec{E}_{\rm rad}=c\vec{B}_{\rm rad}\times\hat{r},
\end{equation}
tal como es típico de un campo de radiación. Como consecuencia, el vector de Poynting adopta la forma $\vec{S}=(1/\mu c)\vec{E}_{\rm rad}^2\hat{r}$, de modo que la energía se propaga en la dirección del vector $\hat{r}$. La potencia por unidad de ángulo sólido radiada por la pequeña espira de corriente es entonces
\begin{equation}
\boxed{\frac{dP}{d\Omega}(\hat{r},t)=\frac{\mu}{16\pi^2 c^3}\ddot{\vec{\mu}}{\,}^2\sin^2\theta ,}
\end{equation}
donde $\theta$ es ahora el ángulo entre $\ddot{\vec{\mu}}$ y $\hat{r}$. La potencia total radiada es entonces

\begin{equation}\label{Pdipmag}
\boxed{P(t)=\frac{\mu}{6\pi}\frac{\ddot{\vec{\mu}}{\,}^2}{c^3}.}
\end{equation}

\section{Resistencia de radiación}

En un circuito eléctrico con una fuente y una resistencia, la potencia instantánea disipada (en calor) por la resistencia es dada por $P(t)=RI^2(t)$. Para el caso de corrientes periódicas, la potencia disipada promedio es entonces dada por $\left\langle P\right\rangle=R\left\langle I^2\right\rangle$.
Análogamente, en el caso de un sistema de cargas y corrientes que radía una potencia promedio $\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle$ y es alimentada por una corriente $I(t)$, se define la \textit{resistencia de radiación} $R_{\rm rad}$ por
\begin{equation}
R_{\rm rad}:=\frac{\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle}{\left\langle I^2\right\rangle}.
\end{equation}

\subsection{Resistencia de radiación de un dipolo de Hertz}\label{sec:RRdH}
Consideremos el caso en que el dipolo está constituido por un (pequeño) condensador de placas paralelas. Entonces el momento dipolar del sistema es dado por $p(t)=Q(t)d$, donde $Q(t)$ es la magnitud de la carga almacenada en las placas en el instante $t$ y $d$ es la distancia entre las placas. Entonces $\dot{p}(t)=\dot{Q}(t)d=I(t)d$, donde $I(t)$ es la corriente que alimenta al condensador. Usando esta expresión, podemos evaluar la potencia \eqref{PotdH} radiada por el dipolo, obteniendo
%\begin{equation}
%\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle=\frac{2}{3}\frac{\langle \dot{I}^2\rangle d^2}{c^3}
%\end{equation}
%o, en unidades S.I.,
\begin{equation}
\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle=\frac{\mu}{6\pi c}{\langle\dot{I}^2\rangle d^2}.
\end{equation}
Si la corriente que alimenta el sistema es periódica con frecuencia angular $\omega$ entonces $\langle\dot{I}^2\rangle=\omega^2\langle I^2\rangle$ y por lo tanto
\begin{equation}
\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle=\frac{\mu}{6\pi c}{\langle I^2\rangle \omega^2d^2}.
\end{equation}
La resistencia de radiación en este caso es dada por
\begin{equation}\label{Rradp}
R_{\rm rad}=\frac{\mu}{6\pi c}{\omega^2d^2}
=\frac{2\pi}{3}\mu c\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2
=\frac{2\pi}{3}Z_0\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2,
\end{equation}
donde hemos introducido la constante $Z:=\mu c=1/\varepsilon c=\sqrt{\mu/\varepsilon}$, que en el vacío asume el valor $Z_0=119,9169832\pi\,[\Omega]\approx 377\,[\Omega]$. En este caso, $Z_0$ es llamada la \textit{impedancia del vacío}, o \textit{impedancia del espacio libre}.

\subsection{Resistencia de radiación de una pequeña espira}
Consideramos una pequeña espira circular, de radio $a$, que es alimentada por una fuente que suministra una diferencia de potencial variable, de modo que la corriente que circula por la espira es dada por $I(t)$. En este caso, el momento magnético del sistema tiene módulo $\mu(t)=\pi a^2I(t)$. Suponiendo que la corriente que circula por la espira varía armónicamente en el tiempo, con frecuencia angular $\omega$, y que $a\ll c/\omega$, podemos modelar la radiación emitida como aquella producida por un dipolo magnético ideal. Bajo estas condiciones, la expresión (\ref{Pdipmag}) nos permite escribir
\begin{equation}
\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle=\frac{\mu}{6\pi c^3}{\left\langle \ddot{\mu}^2\right\rangle}=\frac{\pi\mu}{6c^3}{a^4}\left\langle \ddot{I}^ 2\right\rangle .
\end{equation}
%o, en unidades del Sistema Internacional,
%\begin{equation}
%\left\langle P_{\rm rad}\right\rangle=\frac{\pi}{6\varepsilon_0}\frac{a^4}{c^5}\left\langle \ddot{I}^ 2\right\rangle.
%\end{equation}
Como suponemos que la corriente varía armónicamente en el tiempo, tendremos que $\langle\ddot{I}^ 2\rangle=\omega^4\langle I^ 2\rangle$ y, por lo tanto, la resistencia de radiación resulta ser
\begin{equation}
R_{\rm rad}=\frac{\pi\mu}{6c^3}{a^4\omega^4}
=\frac{8\pi^5}{3}Z\left(\frac{a}{\lambda}\right)^4.
\end{equation}
Evaluando esta expresión en el caso del vacío, encontramos
\begin{equation}\label{Rradmu}
R_{\rm rad}\approx 6,4\times 10^{5}\left(\frac{a}{\lambda}\right)^4 [\Omega].
\end{equation}

Consideremos finalmente que con una misma corriente se alimenta el condensador discutido en la sección \ref{sec:RRdH} y, alternativamente, la espira que acabamos de analizar. Si ambos sistemas son \textit{aproximadamente del mismo tamaño} ($d\approx a$) podemos escribir, usando los resultados (\ref{Rradp}) y (\ref{Rradmu}), 
\begin{equation}
\frac{R_{\rm rad}^{\vec\mu}}{R_{\rm rad}^{\vec{p}}}\approx 4\pi^4\left(\frac{a}{\lambda}\right)^2=\pi^2\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right)^2\approx 10\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\right)^2.
\end{equation}
Por lo tanto, como hemos supuesto que $a\ll\lambda/2\pi$, encontramos que  $R_{\rm rad}^{\vec\mu}\ll R_{\rm rad}^{\vec{p}}$. En este sentido un pequeño condensador radía más ``eficientemente'' que una espira de similar tamaño, alimentada con la misma corriente alterna.


\section{Campos radiativos de una distribución general de carga y corriente}

Aquí nos concentraremos en determinar sólo las \textit{componentes radiativas} de los campos generados \textit{por una distribución general de carga y corriente}. Estos campos corresponden a los términos de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ que decaen como $1/r$, ya que sólo éstos contribuyen a la potencia radiada. En términos de los potenciales electromagnéticos, es también suficiente calcular los términos que decaen con $1/r$.

En este caso general, los potenciales retardados son dados por las expresiones (\ref{potret}). Ya que estamos interesados en el \textit{campo de radiación}, muy lejos de la fuente, podemos realizar una expansión en potencias de $\vec{x}'/r\ll 1$ de las cantidades involucradas en (\ref{potret}):
\begin{eqnarray}
 R&=&r\left|\hat{r}-\frac{\vec{x}'}{r}\right| \\
&=&r\left(1-\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{r}+O(r^{-2})\right) \\
&=& r-\hat{r}\cdot\vec{x}'+O(r^{-1}),
\end{eqnarray}
\begin{equation}
 \frac{1}{R}=\frac{1}{r}+O(r^{-2}),
\end{equation}
y
\begin{equation}
 t_{\rm ret}=t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c}+O(r^{-1}).
\end{equation}
Para calcular los campos incluyendo términos hasta orden $1/r$ es suficiente expandir $\rho(\vec{x}',t_{\rm ret})$ y $\vec{J}(\vec{x}',t_{\rm ret})$ a orden 0 en potencias de $1/r$, es decir,
\begin{equation}
 \rho(\vec{x}',t_{\rm ret})=\rho(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})+O(r^{-1}),
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
 \frac{\rho(\vec{x}',t_{\rm ret})}{R}=\frac{1}{r}\rho(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})+O(r^{-2}),
\end{equation}
y, similarmente,
\begin{equation}
 \frac{\vec{J}(\vec{x}',t_{\rm ret})}{R}=\frac{1}{r}\vec{J}(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})+O(r^{-2}).
\end{equation}
Estas expansiones son válidas para $r\gg d$, donde $d$ es el (orden de magnitud del) tamaño (lineal) de la distribución de cargas y corrientes. Con ellas, las integrales generales (\ref{potret}) se reducen a
\begin{equation}
 \phi(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\int\rho(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})\,dV'+O(r^{-2}),
\end{equation}
\begin{equation}
 \vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\frac{1}{r}\int\vec{J}(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})\,dV'+O(r^{-2}).
\end{equation}
En otras palabras,
\begin{equation}
 \boxed{\phi_{\rm rad}(\vec{x},t)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\int\rho(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})\,dV',} \label{phirad}
\end{equation}
\begin{equation}
 \boxed{\vec{A}_{\rm rad}(\vec{x},t)
=\frac{\mu}{4\pi}\frac{1}{r}\int\vec{J}(\vec{x}',t-\frac{r}{c}+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})\,dV'.} \label{Arad}
\end{equation}

\subsection{Expansión multipolar}\label{sec:emr}

Podemos expresar \eqref{phirad} y \eqref{Arad} como una suma de términos proporcionales a los \textit{momentos multipolares eléctricos y magnéticos de la distribución de cargas y corrientes} que es fuente del campo. Para esto, expandimos los integrandos de \eqref{phirad} y \eqref{Arad} en potencias de $(\hat{r}\cdot\vec{x}')/c$. Por ejemplo,
\begin{eqnarray}
 \rho(\vec{x}',t'+\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c})&=&\rho(\vec{x}',t')+\left(\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c}\right)\dot\rho(\vec{x}',t')+\frac{1}{2}\left(\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c}\right)^2\ddot\rho(\vec{x}',t') \nonumber\\
 &&+\cdots+\frac{1}{n!}\left(\frac{\hat{r}\cdot\vec{x}'}{c}\right)^n\stackrel{(n)}{\rho}\!\!\!(\vec{x}',t')+\cdots ,
\end{eqnarray}
donde hemos denotado $t':=t-r/c$ y $\stackrel{(n)}{\rho}:=\partial^n\rho/\partial t^n$ es la $n$-ésima derivada parcial de $\rho$ respecto al tiempo.

Esta expansión tendrá términos cada vez más pequeños, y por lo tanto su \textit{truncamiento} a órdenes cada vez mayores suministrará \textit{mejores aproximaciones} al resultado exacto, si se satisface (en cada punto de la distribución) que
\begin{equation}
 |\rho|\gg \frac{|\dot{\rho}|d}{c}, \qquad  |\dot{\rho}|\gg \frac{|\ddot{\rho}|d}{c},
\end{equation}
etc., es decir, si
\begin{equation}
|\stackrel{(n)}{\rho}|\gg \frac{d}{c}\,|\stackrel{(n+1)}{\rho}|, \qquad n=0,1,2,\cdots .
\end{equation}
Si la fuente \textit{varía temporalmente en forma armónica}, por ejemplo si $\rho(\vec{x},t)=\rho_0(\vec{x})\cos(\omega t)$, entonces la condición anterior es equivalente (para todo $n$) a
\begin{equation}
d\ll\frac{c}{\omega}=\frac{\lambda}{2\pi},
\end{equation}
es decir, a que \textbf{el tamaño (lineal) de la fuente sea mucho menor que la longitud de onda asociada a la frecuencia $\omega$}. Recuerde que siempre es posible \textit{descomponer $\rho$ en una superposición de oscilaciones armónicas}, vía análisis de Fourier.

Suponiendo que las condiciones anteriores se satisfacen, podemos escribir:
\begin{align}
\phi_{\rm rad}(\vec{x},t)
 &= \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\left[  \int\rho\,dV'+\frac{\hat{r}_i}{c}\int\dot{\rho}x'_i\,dV'+\frac{1}{2}\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{\hat{r}_j}{c}\int\ddot{\rho}x'_ix'_j\,dV'\right. \nonumber \\
 &\qquad\qquad\  \left.+\cdots +
\frac{1}{n!}\frac{\hat{r}_{j_1}}{c}\cdots\frac{\hat{r}_{j_n}}{c}\int\stackrel{(n)}{\rho}\!\!\!x'_{j_1}\cdots x'_{j_n}\,dV'+\cdots\right] \\
 &= \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\left[  \int\rho\,dV'+\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{d\ }{dt}\left(\int\rho x'_i\,dV'\right)+\frac{1}{2}\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{\hat{r}_j}{c}\frac{d^2\ }{dt^2}\left(\int\rho x'_ix'_j\,dV'\right)\right. \nonumber \\
 &\qquad\qquad\ \left.+\cdots +
\frac{1}{n!}\frac{\hat{r}_{j_1}}{c}\cdots\frac{\hat{r}_{j_n}}{c}\frac{d^n\ }{dt^n}\left(\int\rho x'_{j_1}\cdots x'_{j_n}\,dV'\right) +\cdots\right] \\
 &= \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\left[  Q+\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{d\ }{dt}Q_i+\frac{1}{2}\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{\hat{r}_j}{c}\frac{d^2\ }{dt^2}Q_{ij}\right. \nonumber \\
 &\qquad\qquad\ \left.+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{\hat{r}_{j_1}}{c}\cdots\frac{\hat{r}_{j_n}}{c}\frac{d^n\ }{dt^n}Q_{j_1\cdots j_n} +\cdots\right] ,
\end{align}
donde
\begin{equation}
 Q_{j_1\cdots j_n}(t):=\int\rho(\vec{x}',t)\, x'_{j_1}\cdots x'_{j_n}\,dV'
\end{equation}
es el \textit{momento multipolar eléctrico de orden} $n$. En resumen,
\begin{align}
 \phi_{\rm rad}(\vec{x},t) &= \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}\left[  Q(t')+\frac{\hat{r}_i}{c}\dot{Q}_i(t')+\frac{1}{2}\frac{\hat{r}_i}{c}\frac{\hat{r}_j}{c}\ddot{Q}_{ij}(t') \right.\nonumber\\
& \qquad\qquad\ \left.+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{\hat{r}_{j_1}}{c}\cdots\frac{\hat{r}_{j_n}}{c}\stackrel{(n)}{Q}\!\!{}_{j_1\cdots j_n}(t') +\cdots\right] .  \label{emprad}
\end{align}
Análogamente, para el potencial vectorial, tendremos la siguiente expansión
\begin{align}
A_i^{\rm rad}(\vec{x},t) &= \frac{\mu}{4\pi}\frac{1}{r}\left[  M_i(t')+\frac{\hat{r}_j}{c}\dot{M}_{ji}(t')+\frac{1}{2}\frac{\hat{r}_j}{c}\frac{\hat{r}_k}{c}\ddot{M}_{jki}(t')\right.\nonumber\\
& \qquad\qquad\ \left.+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{\hat{r}_{j_1}}{c}\cdots\frac{\hat{r}_{j_n}}{c}\stackrel{(n)}{M}\!\!{}_{j_1\cdots j_ni}(t') +\cdots\right] , \label{emArad}
\end{align}
donde
\begin{equation}
 M_{j_1\cdots j_ni}(t):=\int x'_{j_1}\cdots x'_{j_n}J_i(\vec{x}',t)\,dV'
\end{equation}
denotan los \textit{momentos multipolares magnéticos de orden} $n$ de la distribución. Note que en (\ref{emprad}) y (\ref{emArad}) (las derivadas de) los momentos multipolares están evaluados en el tiempo retardado $t'=t-r/c$.

Calculamos ahora la componente radiativa del campo eléctrico, es decir, aquella que decae con $1/r$ a grandes distancias. A partir de (\ref{emprad}) y (\ref{emArad}) encontramos que
\begin{align}
E_i^{\rm rad}(\vec{x},t) &= \frac{\mu c}{4\pi}\frac{1}{r}\left[\hat{r}_i\dot{Q}+\frac{1}{c}\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\ddot{p}_j-\dot{M}_i\right)+\frac{1}{2c^2}\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\hat{r}_k\dddot{Q}_{jk} -2\hat{r}_j\ddot{M}_{ji}\right)+\cdots\right.\nonumber\\
& \qquad\qquad \left.+\frac{1}{n!c^n}\hat{r}_{j_1}\cdots\hat{r}_{j_{n-1}}\left(\!\stackrel{(n+1)}{Q}\!\!\!\!\!{}_{j_1\cdots j_n}\hat{r}_{j_n}\hat{r}_i- n\stackrel{(n)}{M}\!\!{}_{j_1\cdots j_{n-1}i}\right)+\cdots\right]_{\rm ret}. \label{emErad}
\end{align}

Para un sistema de cargas y corrientes que esté \textit{aislado eléctricamente} la carga total del sistema permanece constante, de modo que $\dot{Q}=0$. Por otro lado, \textit{el momento monopolar magnético $M_i$ es proporcional a la variación temporal del momento dipolar eléctrico $p_i$}. En efecto, en el caso magnetostático se tiene que $M_i=0$, lo que puede ser demostrado considerando la integral $\oint_Sx_iJ_j\, dS_j$ en una superficie $S$ que encierre la distribución de cargas y corrientes, pero sobre la cual $\vec{J}=\vec{0}$. Ver sección \ref{sec:emm}. En el caso no estacionario que ahora consideramos, tenemos que
\begin{eqnarray}
 0&=&\oint_Sx_iJ_j\, dS_j\\
&=&\int_V\partial_j(x_iJ_j)\,dV \\
&=&\int_VJ_i\,dV+\int_Vx_i(\partial_jJ_j)\,dV \\
&=&M_i-\int_Vx_i(\partial_t\rho)\,dV \\
&=&M_i-\frac{d\ }{dt}\int_Vx_i\rho\,dV \\
&=&M_i-\dot{p}_i,
\end{eqnarray}
donde hemos usado el teorema de Gauss y la ecuación de continuidad. Por lo tanto,
\begin{equation}
 \vec{M}=\dot{\vec{p}}.
\end{equation}
Análogamente, para el momento dipolar magnético podemos considerar la siguiente integral:
\begin{eqnarray}
 0&=&\oint_Sx_ix_jJ_k\, dS_k\\
&=&\int_V\partial_k(x_ix_jJ_k)\,dV \\
&=&\int_V(x_jJ_i+x_iJ_j)\,dV+\int_Vx_ix_j(\partial_kJ_k)\,dV \\
&=&\int_V(x_jJ_i+x_iJ_j)\,dV-\int_Vx_ix_j(\partial_t\rho)\,dV \\
&=&2M_{(ij)}-\dot{Q}_{ij}.
\end{eqnarray}
En otras palabras, \textit{la parte simétrica de $M_{ij}$ es igual a la variación temporal del momento cuadrupolar eléctrico}. Por otro lado, la parte antisimétrica es, por definición, proporcional al \textit{(pesudo-)vector momento dipolar magnético} $\vec{\mu}$:
\begin{equation}
 M_{[ij]}=\epsilon_{ijk}\mu_k, \qquad \mu_k:=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\int_Vx_jJ_k\,dV.
\end{equation}
En resumen,
\begin{equation}
 M_{ij}=\frac{1}{2}\dot{Q}_{ij}+\epsilon_{ijk}\mu_k.
\end{equation}
Con esto, podemos reescribir \eqref{emErad} como
\begin{equation}
\boxed{E_i^{\rm rad}(\vec{x},t)=\frac{\mu}{4\pi}\frac{1}{r}\left[\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\ddot{p}_j-\ddot{p}_i\right)+\frac{1}{c}\epsilon_{ijk}\hat{r}_j\ddot{\mu}_k+\frac{1}{2c}\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\hat{r}_k\dddot{Q}_{jk} -\hat{r}_j\dddot{Q}_{ji}\right)+\cdots\right]_{\rm ret} .} \label{emErad2}
\end{equation}
Vemos entonces que el primer término corresponde al campo de radiación de un \textit{dipolo eléctrico} (ideal), el segundo al de un \textit{dipolo magnético} (ideal). El tercero es la \textit{contribución cuadrupolar eléctrica}, etc.

Por otro lado, usando (\ref{emprad}) y (\ref{emArad}) puede verificarse que
\begin{equation}
 \vec{B}_{\rm rad}(\vec{x},t)=\frac{1}{c}\hat{r}\times\vec{E}_{\rm rad}(\vec{x},t), \quad  \vec{E}_{\rm rad}(\vec{x},t)=c\vec{B}_{\rm rad}(\vec{x},t)\times\hat{r}, \quad \vec{E}_{\rm rad}\times\vec{B}_{\rm rad}=\frac{1}{c}\left|\vec{E}_{\rm rad}\right|^2\hat{r},
\end{equation}
como es usual para un campo de radiación. De aquí obtenemos, finalmente, una expansión para la \textit{potencia por unidad de ángulo sólido radiada por una distribución arbitraria (pero aislada) de cargas y corrientes}, en términos de sus momentos multipolares:
\begin{equation}
 \boxed{\frac{dP}{d\Omega}(\hat{r},t)=\frac{\mu}{16\pi^2c} \left|\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\ddot{p}_j-\ddot{p}_i\right)+\frac{1}{c}\epsilon_{ijk}\hat{r}_j\ddot{\mu}_k+\frac{1}{2c}\left(\hat{r}_i\hat{r}_j\hat{r}_k\dddot{Q}_{jk}-\hat{r}_j\dddot{Q}_{ji} \right)+\cdots\right|^2_{\rm ret}.}
\end{equation}


\section{Antenas lineales}

Consideremos una \textit{antena lineal} de largo $d$, alimentada en su punto medio por una fuente alterna de frecuencia angular $\omega$, orientada a lo largo del eje $z$. Supondremos que el perfil de corriente en la antena es de la forma
\begin{equation}
 I(z,t)=I_0\sin\left(\frac{kd}{2}-k|z|\right)\cos(\omega t),
\end{equation}
que satisface la condición de ser nula en los extremos, es decir,
\begin{equation}
 I\left(\pm \frac{d}{2},t\right)=0.
\end{equation}
La corriente en el centro ($z=0$) es dada por
\begin{equation}
 I(0,t)=I_0\sin\left(\frac{kd}{2}\right)\cos(\omega t).
\end{equation}
% \begin{eqnarray}
%  \vec{A}_{\rm rad}&=&\frac{\hat{z}}{cr}\int_{-d/2}^{d/2}I(z,t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)\,dz \\
% &=&\frac{\hat{z}}{cr}\int_{-d/2}^{d/2}\cos(kz)\cos\left[\omega (t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)\right]\,dz \\
% &=&\Re\left[\frac{\hat{z}}{cr}\int_{-d/2}^{d/2}\cos(kz)e^{i\omega (t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)}\,dz \right]\\
% &=&\Re\left[\frac{\hat{z}}{cr}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})}\int_{-d/2}^{d/2}\cos(kz)e^{ikz\cos\theta}\,dz \right]\\
% \end{eqnarray}
% \begin{eqnarray}
%  2\int_{-d/2}^{d/2}\cos(kz)e^{ikz\cos\theta}\,dz &=&\int_{-d/2}^{d/2}e^{ikz}e^{ikz\cos\theta}\,dz+\int_{-d/2}^{d/2}e^{-ikz}e^{ikz\cos\theta}\,dz \\
% &=&\left[\frac{e^{ikz}e^{ikz\cos\theta}}{ikz+ikz\cos\theta}+\frac{e^{-ikz}e^{ikz\cos\theta}}{-ikz+ikz\cos\theta}\right]_{-d/2}^{d/2}
% \end{eqnarray}

\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig/fig-antena.pdf}}
 \caption{Esquema para antena lineal.}
\label{fig:antena}
\end{figure}

Consideraremos el caso en que el largo $d$ de la antena \textit{no} es despreciable comparado con la longitud de onda $\lambda=2\pi c/\omega$ de la radiación emitida. En este caso no es posible utilizar la expansión multipolar de la sección \ref{sec:emr}. Por lo tanto, para determinar los campos radiativos debemos utilizar la expresiones  (\ref{phirad}) y (\ref{Arad}). En nuestro caso, donde la corriente que circula por el sistema es conocida, basta determinar el potencial vectorial usando (\ref{Arad}), puesto que a partir de él podemos calcular el campo magnético por medio del rotor. La componente radiativa del campo eléctrico puede luego determinarse usando $\vec{E}_{\rm rad}=c\vec{B}_{\rm rad}\times\hat{r}$. Además, como en nuestro caso la distribución de corriente es lineal, (\ref{Arad}) se reduce a
\begin{eqnarray}
 \vec{A}_{\rm rad}&=&\frac{\mu}{4\pi}\frac{\hat{z}}{r}\int_{-d/2}^{d/2}I(z,t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)\,dz \\
&=&\frac{\mu}{4\pi}\frac{\hat{z}I_0}{r}\int_{-d/2}^{d/2}\sin\left(\frac{kd}{2}-k|z|\right)\cos\left[\omega (t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)\right]\,dz \\
&=&\frac{\mu}{4\pi}\Re\left[\frac{\hat{z}I_0}{r}\int_{-d/2}^{d/2}\sin\left(\frac{kd}{2}-k|z|\right)e^{i\omega (t-\frac{r}{c}+\frac{z}{c}\cos\theta)}\,dz \right]\\
&=&\frac{\mu}{4\pi}\Re\left[\frac{\hat{z}I_0}{r}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})}\int_{-d/2}^{d/2}\sin\left(\frac{kd}{2}-k|z|\right)e^{ikz\cos\theta}\,dz \right] .
\end{eqnarray}
La integral involucrada puede ser calculada fácilmente reduciéndola a integrales de exponenciales, obteniendo:
\begin{equation}
 \int_{-d/2}^{d/2}\sin\left(\frac{kd}{2}-k|z|\right)e^{ikz\cos\theta}\,dz=\frac{2}{k\sin^2\theta}\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right] .
\end{equation}
Con esto, el potencial vectorial puede escribirse como
\begin{eqnarray}
 \vec{A}_{\rm rad}&=&
\Re\left\lbrace\frac{\mu I_0}{2\pi rk\sin^2\theta}e^{i\omega(t-\frac{r}{c})}\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right] \right\rbrace\hat{z}\\
&=&\frac{\mu cI_0}{2\pi r\omega}\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right]\frac{\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right]}{\sin^2\theta}\hat{z} \\
&=&A_z\hat{z}.
\end{eqnarray}
Determinaremos ahora el campo magnético radiativo. Es conveniente calcular el rotor de $\vec{A}$ en coordenadas esféricas. Usando $\hat{z}=\hat{r}\cos\theta-\hat{\theta}\sin\theta$
tenemos que $\vec{A}=A_r\hat{r}+A_\theta\hat{\theta}$, con $A_r=A_z\cos\theta$ y $A_\theta=-A_z\sin\theta$. Ya que las componentes de $\vec{A}$ sólo dependen de $r$ y $\theta$ y que además $A_\varphi=0$ tenemos que el rotor se reduce a
\begin{equation}
 \vec{\nabla}\times\vec{A}=\frac{\hat{\varphi}}{r}\left(\frac{\partial\ }{\partial r}\left(rA_\theta\right)-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right). \label{rotaa}
\end{equation}
Además, ya que $A_r$ es proporcional a $1/r$, verificamos que el segundo término de (\ref{rotaa}) aportará con un término proporcional a $1/r^2$ al rotor, que no corresponde a una contribución radiativa al campo magnético. De esta forma, llegamos a que
\begin{eqnarray}
 \vec{B}_{\rm rad}&=&\frac{\hat{\varphi}}{r}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(rA_\theta\right) \\
&=&-\frac{\hat{\varphi}}{r}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(\frac{\mu cI_0}{2\pi\omega}\cos\left[\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right]\frac{\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right]}{\sin\theta}\right) \\
&=&-\frac{\mu I_0}{2\pi r}\sin\left[\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right]\frac{\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right]}{\sin\theta}\,\hat{\varphi}.
\end{eqnarray}
La potencia instantánea radiada por unidad de ángulo sólido puede entonces calcularse como:
\begin{eqnarray}
 \frac{dP}{d\Omega}&=&\frac{c}{\mu}\left|\vec{B}_{\rm rad}\right|^2 r^2\\
&=&\frac{\mu c I_0^2}{4\pi^2}\sin^2\left[\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right]\frac{\left[\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)\right]^2}{\sin^2\theta}.
\end{eqnarray}
Ya que el movimiento es periódico es más útil considerar la potencia promedio radiada:
\begin{equation}
 \left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle=\frac{\mu cI_0^2}{8\pi^2}\left[\frac{\cos\left(\frac{1}{2}kd\cos\theta\right)-\cos\left(\frac{1}{2}kd\right)}{\sin\theta}\right]^2.
\end{equation}
Para una \textit{antena de media onda}, es decir, tal que $d=\lambda/2$, tendremos que $kd=\pi$ y entonces
\begin{equation}
 \left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle=\frac{\mu c I_0^2}{8\pi^2}\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^2\theta}.
\end{equation}
%
% Para la antena de una onda $kd=2\pi$:
% \begin{eqnarray}
%  \left\langle\frac{dP}{d\Omega}\right\rangle
% &=&\frac{I_0^2}{2\pi c}\left[\frac{\cos\left(\pi\cos\theta\right)+1}{\sin\theta}\right]^2 \\
% &=&\frac{I_0^2}{2\pi c}\left[\frac{2\cos^2\left(\frac{1}{2}\pi\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right]^2 \\
% &=&\frac{2I_0^2}{\pi c}\frac{\cos^4\left(\frac{1}{2}\pi\cos\theta\right)}{\sin^2\theta}
% \end{eqnarray}
\begin{figure}[H]
\centerline{\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig/fig-antena-media-onda.pdf}}
 \caption{Lóbulo de radiación para la antena de media onda en el plano $zx$.}
\label{fig:lobulo_antena}
\end{figure}


En este caso, la potencia promedio total es dada por
\begin{eqnarray}
 \left\langle P\right\rangle
&=&\frac{\mu c I_0^2}{8\pi^2}\int\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin^2\theta}\,d\Omega \\
&=&\frac{\mu c I_0^2}{4\pi}\int_0^\pi\frac{\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}\,d\theta\\
&=&\frac{\mu c I_0^2}{4\pi}\times 1.2188\cdots .
\end{eqnarray}
%En unidades S.I., este resultado se expresa como
%\begin{equation}
% \left\langle P\right\rangle
%=\frac{I_0^2}{4\pi\epsilon_0c}\times 1.2188\cdots=\left(\frac{c\mu_0}{4\pi}\times 1.2188\cdots\right)I_0^2.
%\end{equation}
Finalmente evaluando con $c\mu_0/4\pi\approx 30 [NmA^{-2}s^{-1}]$, obtenemos
\begin{equation}
 \left\langle P\right\rangle
=36,564[\Omega]\,I_0^2.
\end{equation}
De aquí obtenemos que la \textit{la resistencia de radiación de una antena de media onda} es
\begin{equation}
 R_{\rm rad}\approx 73,13\,\Omega,
\end{equation}
ya que $\left\langle I^2\right\rangle=I_0^2/2$.