-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
1.html
235 lines (235 loc) · 16.1 KB
/
1.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | рациональные выражения.теорема Безу.деление многочленов</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true, width: "95% container" } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true, width: "95% container" } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true, width: "95% container" } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Рациональные выражения. Деление многочлена на многочлен. Теорема Безу.</h1>
<p>
Для работы с многочленами (выражениями состоящими из переменных, коэффициентов, операций сложения, вычитания, умножения и возведения в неотрицательную степень) пользуются некоторыми особыми методами и формулами, включающими рациональные выражения, деление многочленов, теорему Безу и прочее. Вообще, на этой странице обсуждаются методы работы с алгебраическими дробями и делением многочленов.
</p>
<section>
<h2>Формулы сокращённого умножения</h2>
<p>
Для более быстрого решения задач, уравнений и т.д. люди пользуются специальными формулами, работающими для всех подобных случаев (являющимися тождествами). Данные выражения также называют формулами сокращённого умножения. Хотя их можно применять и просто для того, чтобы быстро умножать числа, без них нельзя обойтись в решении большей части задач с многочленами. Одно из их главных применений - разложение на множители, которое, например, часто требуется при решении уравнений и имеет множество других применений.
</p>
Вот наиболее часто встречающиеся и полезные из них:
<ul style="list-style: none">
<li>(a-b)(a+b) = a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup></li>
<li>(a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>+2ab+b<sup>2</sup></li>
<li>(a-b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>-2ab+b<sup>2</sup></li>
<li>(a+b)(a<sup>2</sup>-ab+b<sup>2</sup>) = a<sup>3</sup>+b<sup>3</sup></li>
<li>(a-b)(a<sup>2</sup>+ab+b<sup>2</sup>) = a<sup>3</sup>-b<sup>3</sup></li>
<li>(a+b)<sup>3</sup> = a<sup>3</sup>+3a<sup>2</sup>b+3ab<sup>2</sup>+b<sup>3</sup></li>
<li>(a-b)<sup>3</sup> = a<sup>3</sup>-3a<sup>2</sup>b+3ab<sup>2</sup>-b<sup>3</sup></li>
</ul>
<hr />
<p>
Бывают случаи, когда нужны и более сложные формулы, формулы для большего количества переменных и т.п. (хотя имея приведённые формулы в арсенале, математик легко (пусть и чуть за более долгое время) может прийти к большинству более сложных формул их последовательным применением). В основном здесь все формулы - это специальные случаи формулы бинома Ньютона (<a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0">см. статью в Wikipedia по теме</a>), известной ещё индийским и исламским математикам. Другие здесь приведённые формулы можно достаточно быстро механически получить через деление многочленов (приём, о котором здесь рассказано чуть ниже). Если точнее, при делении, например, (a<sup>3</sup> + b<sup>3</sup>) на (a + b) получится, конечно же, (a<sup>2</sup> - ab + b<sup>2</sup>).
</p>
</section>
<section>
<h2>Рациональные выражения</h2>
<figure>
<img src="Algebraic_expressions.svg" alt="виды алгебраических выражений">
<figcaption>Виды алгебраических выражений</figcaption>
</figure>
<p>
Для начала следует разобраться в элементарной терминологии. Выражение, состоящее из многочленов (без <a href="4.html">знаков радикалов</a>), называется <dfn title="рациональное выражение">рациональным выражением</dfn>. Рациональные выражения - это подвид алгебраических выражений (с которыми обычно и ведётся вся работа в алгебре). Рациональные выражения можно поделить на целые и дробные. Целые - это просто многочлены или многочлены, делённые на число отличное от нуля (если многочлен - часть уравнения, что бывает, когда, например, нужно найти его корни, то от такого деления легко избавиться, умножив обе части на делитель). Если же говорить о дробных выражениях, то <a href="2.html">алгебраические дроби</a> называют рациональными дробями. Говоря простым языком, это выражения, содержащие операцию деления на выражение с переменной. Рациональная дробь - дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. У дробных рациональных выражений есть одно очень существенное отличие от целых. Так как деление на ноль не определено, то дробные выражения будут иметь смысл не для всех значений переменных (знаменатель дроби не должен быть равен 0). Значения переменных, при которых выражения имеют смысл, называют <i>допустимыми значениями переменных</i>. Сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей (благодаря основному свойству дроби) всегда можно представить в виде рациональной дроби. Рациональные дроби важны, они могут быть (как и просто многочлены), например, частью уравнений (см. <a href="14.html">решение дробно-рациональных уравнений</a>). Итак, можно сказать, что рациональная дробь - это, по сути, многочлен, делённый на многочлен.
</p>
<hr />
<p>
Иногда дробь можно превратить в один многочлен - с учётом ОДЗ, конечно (также иногда часть может не поделиться). В любом случае - деление многочленов является очень важным приёмом при работе с рациональными дробями. Прежде чем перейти к его рассмотрению, пример рациональной дроби:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>5</mn>
<mo>⁢</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>3</mn>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>5</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math> (очевидно, будет иметь смысл при <var>x</var>≠1).
</p>
</section>
<section>
<h2>Деление многочлена на многочлен</h2>
<p>Деление многочлена на многочлен - очень удобный и нужный приём при работе с ними, как уже говорилось выше. Возможность деления многочлена на многочлен - одно из следствий теоремы Безу. При делении многочленов всегда следует указывать область допустимых значений, так как их деление - нетождественное преобразование. Ещё раз - всегда при работе с рациональными дробями следует не забывать находить область допустимых значений переменных (это делается решением уравнения, где знаменатель дроби приравнивается к 0, соответственно именно корень(-и) уравнения будет(-ут) недопустимым(-и) значением(-и)).</p>
<math display="block">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>D</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>Q</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>⇒</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>D</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>Q</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>R</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mi>D</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math><br><br>
Пример:
<math display="inline">
<!-- Created with FireMath www.firemath.info -->
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math> (здесь область допустимых значений: <var>x</var>≠1).
</section>
<section>
<h2>Теорема Безу</h2>
Теорема Безу вообще важна при работе с многочленами (как сама по себе, так и её следствия). Отдельного внимания было достойно деление многочленов, но теперь следует разобрать, откуда вытекает это свойство.
Точная формулировка теоремы такова: остаток от деления многочлена P(x) на (x-a) равен P(a).
<math display="block">
<mrow>
<mo>◽</mo>
<mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>×</mo>
<mi>Q</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi><mo>⁡</mo>
<mspace width="0.5em" />
<mi>P</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfenced open="(" close=")" separators=",">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</mfenced>
<mo>×</mo>
<mi>Q</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi><mo>⁡</mo>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁡</mo>
<mo>◽</mo>
</mrow>
</math>
<h3>Следствие 1</h3>
<p>Если какое-то число x<sub>1</sub> - корень многочлена, то P(x<sub>1</sub>)=0 и R=0.</p>
<h3>Следствие 2</h3>
<p>Если x<sub>1</sub> - целый корень приведённого многочлена P(x), то свободный член кратен x<sub>1</sub>.</p>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>