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牛津数学导论 （2019-2020）学习笔记【1.1】自然数

讲课人： Richard Earl 博士

笔记者：CycleUser

2019年11月7日12:42:37

记笔记者注：这部分主要还是基础知识，虽然简单，但很重要，不可轻视. 另外 markdown、latex 的数学公式语法可以参考 http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php 和 https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962 等网站.

1.1 自然数 (natural numbers)

直观上大家对自然说应该都有个概念,最初的概念其实也就是咱们咋想就咋说就行了.

定义 1, 自然数就是非负的整数(non-negative whole number).

也就是序列${0,1,2,3,...}$里面的数, 获得方式就是从0开始,每次加1,就可以了.然后将所有自然数组成的集合写作集合$N= {0,1,2,3,...}$

讨论基础材料的时候,将0包含在自然数内比较方便.不过在其他的数学领域,大家多数还是从1开始算自然数,所以对自然数集合$N$的另一个定义形式就是$N= {1,2,3,...}$.这里用的花括号的意思是把所有对象都收集起来组成一个集合. 后面章节再详细讲集合论.

有了自然数集合了,还有与之相关的运算(operations)和关系(relations).对任意俩自然数 $x$ 和 $y$, 这两个数的和(sum) $x+y$ 也是自然数集合$N$中的元素, 两个数的乘积(product)$x\times y$也在集合$N$中. 因此就称呼假发和乘法是在自然数集合$N$上进行的二元运算(binary operations).其中自然数 0 和 1 有特殊的运算效果:

$x$为自然数集合$N$中任意元素,则有: $$ \begin{aligned} x+0&=x \ x\times 1 &=x \end{aligned} $$

定义 2, 二元运算(binary operation)

将一个集合S上的元素$x\times y$与每个有序对(ordered pair)$(x,y)$相关联的运算就叫二元运算,其中$x$和$y$也都是集合S中的元素.(关于二元运算的更深入讲解要等到后面讲群(group)和群作用(group actions).)

进一步来说,自然数集合$N$就是自带排序$\le$.作为一个数学对象,小于等于($\le$)就是自然数集合$N$上的一个二元关系运算(binary relation).二元关系运算的内容后面章节再说了.

定义 3, 设 $x$,$y$ 是两个自然数,如果存在一个自然数 $z$ 满足 $x+z=y$, 则可知 $x\le y$.

命题 4, 设有三个自然数 $x$,$y$,$z$,则有:

(a) $x\le x$ (b) 若 $x\le y$ 且 $y\le x$,则$x=y$. (c) 若 $x\le y$ 且 $y\le z$,则$x\le z$. (d) $x\le y$ 和 $y\le x$这两个命题总会有一个是真.

证明

(a) 这里就把 0 作为一个自然数,然后就可以写出来$x+0=x$,就得证了. (b) 已知$x\le y$,则$x+a=y$,a 是某个自然数;类似地,根据$y\le x$可得$y+b=x$,b也是某个自然数.这样就有 $x+(a+b)=(x+a)+b=y+b=x$,这就得出$a+b=0$,自然数就只能是两个0相加才是0,所以$x=y$. (c) 根据$x\le y$ 且 $y\le z$可设$x+a=y,y+b=z$,a和b都是自然数,然后则有$z=y+b=(x+a)+b=x+(a+b)$,$a+b$是一个自然数,所以有$x\le z$. (d) 如果$x\le y$,则有$y=x+z$,z是某个自然数,然后就可以得到$z=y-x$也是一个自然数.否则,如果$x\le y$,则$y-x$是一个整数但不是一个自然数,就是负数.则有$-(y-x)=x-y$是自然数,这样就有$x=y+(x-y)$,表明$y\le x$.证明完成.

备注 5

现在稍作休息,看看在上文中用了哪些代数法则(algebraic laws).目前已经使用了假发的结合律(associativity),也就是$x+(y+z)=(x+y+z)$.这些用到的规则是要假定为公理(axiom)呢?还是也要能证明呢?

接下来的就是一个比定义1要更严格的自然数定义,证明起来也更自然.可以自行检验这个定义中自然数模型的精确,对此感兴趣的同学可以考虑在大三的时候选择B部分的集合论课程(Part B Set Theory).

定义 6

自然数集合$N$是一个满足下列性质的最小集合: (i) $0\in N$ (ii) 若 $n\in N$,则$n+1\in N$.

这种对自然数的定义域归纳法(induction)证明有紧密联系.